演算題第 4 題:
如圖,在座標平面上,將橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\) 的上半部及圓 \(x^2 + y^2 = 4\) 的下半部組合而成一封閉曲線(其中, \(A, B\) 為此橢圓與圓的交點)。
今有一光線從此橢圓的一焦點 \(F_1\) 射向橢圓上半部的 \(P\) 點,依光學原理反射至下半圓的 \(Q\) 點,再依光學原理反射至下半圓的 \(R\) 點,再依光學原理反射。
若 \(\overline{QR} //\overline{AB}\) 且在 \(R\) 點的反射線通過 \(F\) , 請求出四邊形 \(FPQR\) 的周長及面積。
解答:
如上圖,設 \(O\) 為原點,
顯然 \(F_1P+PF_2=\mbox{橢圓長軸長}=4.\)
在 \(Q,R\) 兩點的入射角等於反射角,所以 \(∠ 1=∠2\) 且 \(∠ 3=∠4\)
因為 \(F_1F_2//QR\),所以 \(∠ 2=∠ 5\) 且 \(∠ 3=∠7\)
因為 \(OQ=OR\),所以 \(∠ 2=∠3\)
因此,\(∠ 1=∠2=∠ 3=∠4=∠ 5=∠7\),
\(F_2Q=OF_2=\sqrt{3}\) 且 \(F_1R=OF_1=\sqrt{3}\)
因為 \(\triangle OQR\) 相似於 \(\triangle F_2QO\),
所以 \(\displaystyle QR:OR=OQ:OF_2\Rightarrow QR=2\times\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.\)
所以四邊形 \(FPQR\) 的周長 \(\displaystyle=4+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=4+\frac{10\sqrt{3}}{3}.\)
至於面積,沒想到更好的方法,只有想到硬作,
(就是硬找出 \(P\) 的坐標,再求面積。其實可以找每個點的坐標,剛剛的周長也不是問題。==)
在 \(\triangle OF_2Q\) 中,\(\displaystyle\cos∠OF_2Q=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2-2^2}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3}.\)
所以,\(\displaystyle\cos∠OF_2P=\frac{-1}{3}\Rightarrow \tan∠OF_2P=-2\sqrt{2}\)
(順便多算一個 \(\displaystyle\sin∠OF_2P=\frac{2\sqrt{2}}{3}\))
可得直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(y=-2\sqrt{2}\left(x+\sqrt{3}\right).\)
在與橢圓的方程式,解聯立方程式,可得 \(P\) 點的 \(y\) 坐標為 \(\displaystyle\frac{12\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{33}.\)
所求面積\(=\triangle PF_1F_2\mbox{面積}+\triangle OF_2Q\mbox{面積}+\triangle OQR\mbox{面積}+\triangle ORF_1\mbox{面積}\)
\(\displaystyle= \frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{12\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{33}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}++\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}++\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\displaystyle=\frac{104\sqrt{2}+12\sqrt{6}}{33}.\)
(寫的很長,如有小錯希望不吝告知。感激。^__^)