填充 6. 認真討論一下各種情形
單看一色球，球數分布在兩袋的情形有 (5,5), (3,7), (1,9), (2,8), (4,6) 及兩數交換共9種情形。
(1)        三色皆各 5 個，有1種放法 \({5^3} = {5^3}\)。
(2)        恰一色 5個，有 \(3 \times 8 = 24\) ( \( 5x(10-x) = 5(10-x)x \)

接下就是檢查沒有其它可能，注意到如果有 (x,10-x), (10-x,x)，那第三色僅能 (5,5) 已在上方數過。再利用質因數的特性，就可以說明以下，不會發生滿足題意的乘積相等。

(3)        沒有任何顏色 5個，
某色球有 7 個的話，另一袋也必某色有 7 個，就會是 (2) 的情況。
故(3)不會有某色球分布為 (3,7) 或 (7,3)。

某色球有 9 個的話，另一袋顏色球數只能用 \( 6 \times 6 \) 配出 9 的倍數(不能用 9，否則就是(2)的情況)
餘下 (2,8), (4,6), (8,2), (6,4)，同樣地論證也可以得到無法搭配出乘積相等。

故所求為 \(1 + 24 = 25\)

另一個想法

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-28 10:53 編輯 ]

填充2

先算出兩歪斜線距及點座標
稱 GE 中點為 Q、AC 中點為 P
可知方體的高度為 \( PQ = 3\)、且 \(AC=GE=6 \)
令 AC 直線之方向向量 \( \vec{p}=(1,2,-2)  \)、GE 直線之方向向量 \(\vec{q}=(-3,4,1) \)
由外積性質，把 \( \vec{p} ,\vec{q} \) 各自調整為長度 6 後做外積取絕對值，可得底面積的兩倍
故答案為 \(\frac{1}{2}\cdot\|{2 \vec{p}\times\frac{6}{\sqrt{26}}\vec{q}}\|\cdot 3\)

[ 本帖最後由 craig100 於 2021-4-27 22:33 編輯 ]

可以請教第七題的後續如何運算嗎?

借用一下鋼琴老師畫的圖

首先計算R的面積: (1-pi/4)*4=4-pi

其實計算的為"柱體"  想像一堆R疊在一起變成類似"長方形"的柱體V

V=R*H  其中 H=R對著y=-x+1繞一圈的圓周長,H=2*(1/(根號2))*(pi)=(根號2)pi     式子中間的(1/(根號2))就是鋼琴老師的綠線長度

所以 V=4(根號2)pi-(根號2)*(pi)*(pi)

Note: 一開始真的以為是四個四分之一圓在繞y=-x+1

謝謝鋼琴老師以及PDEMAN老師的解答!

不妨設 a>=b>=c>0 , 再設 f(n)=a^n+b^n+c^n , m>=k>=t>=0
則因為 f(m+k)f(m-k)-f(m+t)f(m-t)
=  (ab)^(m-k)*(a^(k+t)-b^(k+t))*(a^(k-t)-b^(k-t))
  +(ac)^(m-k)*(a^(k+t)-c^(k+t))*(a^(k-t)-c^(k-t))
  +(bc)^(m-k)*(b^(k+t)-c^(k+t))*(b^(k-t)-c^(k-t)) >=0
可知  f(m-t)f(m+t)<=f(m-k)f(m+k)
先取 m=3.5 ,k=3.5,t=0.5 後取 m=4 ,k=4,t=3    因為 a+b+c>=3*  (3)ㄏ(abc)=3=a^0+b^0+c^0 , 所以可得
0<分母<=(a^0+b^0+c^0)(a^7+b^7+c^7)<=(a+b+c)(a^7+b^7+c^7)<=(a^0+b^0+c^0)(a^8+b^8+c^8) =3分子
所以原式=分子/分母>=1/3 , 故最小值=1/3
由上可知 分子由 f(8) 改為f(9),f(10),f(11) .......答案還是不會變的.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-28 15:37 編輯 ]

請教計算一的第二小題

計算 1 (2)
logx (以 3 為底) = -1/3 ，在 (0，1) 有一解 x_1
由於圖形對稱於 x = 1，所以在 (1，2) 也有一解 x_2
(x_1 + x_2) / 2 = 1
x_1 + x_2 = 2

由於是週期為 4 的函數
所以在 (4，6) 也有兩根 x_3 和 x_4
x_3 + x_4 = 10

在 (8，10) 也有兩根 x_5 和 x_6
x_5 + x_6 = 18

所求 = 2 + 10 + 18 = 30

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-29 12:05 編輯 ]

計算第 4 題
(2) 用分部積分可得 ∫f(x)dx = 2 √x * lnx - 4√x + C
從 1 積到 e^2 是 4

(3) 所求 = π∫[(lnx)^2 / x]dx (從 1 積到 e^2) = 8/3