設 f( x ) 的週期為 T, 則

∵ f( x+π ) = cos(sin(x+π)) = cos( - sin(x)) = cos(sin(x)) = f(x)

∴ π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n

因為 sin  在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是"嚴格"單調遞減函數

所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2

故 cos(sinx) 之週期為 π

引用:

原帖由 chu1976 於 2007-12-17 11:39 PM 發表
不好意思,關於以下紅字部分的解說不甚了解
π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n

因為 T 是週期，也就是最小的循環長度，

且已知 cos(sin(x)) 每  π 個長度會循環(也就是距離 π 個單位就會有相同的函數值)。

所以 π 一定是 T 的正整數倍數。

引用:

因為 sin 在 [0, π/2] 是單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是單調遞減函數 所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2 故 cos(sinx) 之週期為 π

我應該加上 "嚴格"單調遞減比較恰當，

cos(sin(x)) 在 [0, π/2] 區間時是嚴格單調遞減函數，

嚴格單調遞減函數必有：若 x > y  ，則  f(x) < f(y) 的特性(隨著變數越大，函數值就越來越小)。

而因為 T 是週期，所以  f(x+T)=f(x) ，

x 以 0 帶入，必有 f(0)=f(T) ，

如果 T 小於或等於 π/2 ，

則 cos(sin(x)) 當 x 在 [0, π/2] 區間時，至少會有兩個函數值相等，

這與 cos(sin(x)) 在 [0, π/2] 區間時是嚴格單調函數的性質相矛盾，

故 T 不可能小於或等於 π/2。