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112台南女中

回覆 10# YangRB 的帖子

填充12題
設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\),\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點,過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面,將正四面體截成上下兩部分,令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\),另一部分體積為\(n\),試求\(\displaystyle \frac{m}{n}=\)?
[解答]
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點,\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點

\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線,由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)

\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高,底面積之比)

故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高,底面積之比)
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回覆 22# lisa2lisa02 的帖子

填充6.
設\(z\)為複數且虛部不等於0,已知\(|\;z|\;\in N\)且\(\displaystyle \frac{z-1}{z^2}\in R\),試求\(z=\)?
[解答]
沒有想到什麼特別的方法,就直接硬做
設 \( z = x + yi \),其中 \( x,y \in {\mathbb{R}} \) 且 \( y \neq 0 \)
令 實數 \( r = \frac{z - 1}{z^2} \)
則 \( (x - 1) + yi = r(x^2 - y^2 + 2xyi)\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} x - 1 = r(x^2 - y^2) \\ y = 2rxy  \end{array}\right. \)

又 \( y \neq 0 \),故 \( r = \frac{1}{2x} \)

\( \Rightarrow 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \)

\( \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow | z|  \leq 2 \)
又 \( |z| \in \mathbb N \) 故 \( |z| =1 \) 或 2

若 \( |z| =2 \),則 \( z = 2 +0i \),與 \( y \neq 0 \) 矛盾
故 \( |z|=1 \),即 \( x^2+y^2 =1 \)

代回 \( 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \) 可得 \( x = \frac12, y =  \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

故 \( z = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)
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回覆 28# Hawlee 的帖子

O 在 AQ上、 M 在 PO 上 N 在 AM 上

故 O, M, N 都在 \( \Delta PAQ \) 所在的平面上

所以 N 在平面 PAQ 和 PBC 共同的交線上
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