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112師大附中

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 13:21 發表


ellipse只是用計算機驗證而已,
證明也很容易,因為餘弦定理就可以得到了,而且,即使「有向長度」,也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯,只是要再討論x,y,z有可能負的情況,依ellipse所列,會有四種情況要討論。 ...
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式,且x,y,z>0,則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎?

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引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 13:37 發表
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式,且x,y,z>0,則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎?
這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子

因為\(x, y, \sqrt{18}>0\)所以可以視為三角形的三邊,而且x, y的夾角90度,可以畫成下面的樣子

另兩個式子亦同,然後把三個三角形一樣長的邊組合起來,就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…

我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧?

其實這方法我是第一次看到,覺得很神奇,
跟在教書的學生分享,他卻跟我說,這是基本的,他的講議有…

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要拼得起來需要剛好角度和是整數圈,
考慮負數時不一定能拼起來吧?

另外不管能不能拼起來,
都還是要知道兩邊和大於第三邊,
三角形才真的存在吧?

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引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 21:26 發表
要拼得起來需要剛好角度和是整數圈,
考慮負數時不一定能拼起來吧?
不一定會剛好360度喔,但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊,或是往反向畫長度|x|,然後角度變成\(\pi-\theta\)。
引用:
另外不管能不能拼起來,
都還是要知道兩邊和大於第三邊,
三角形才真的存在吧? ...
若x,y,z正,是會滿足的,從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b,可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。

負的話也可以,只是往反向畫長度|x|,然後角度變成\(\pi-\theta\),一樣任兩邊和大於第三邊。

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引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 22:11 發表

不一定會剛好360度喔,但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊,或是往反向畫長度|x|,然後角度變成\(\pi-\theta\)。


若有x,y,z正,是會滿足的,從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a ...
請問出現部分負數的情形,應該有拼不起來的吧?
不然2^3=8,應該有8組解,但軟體算實際是4組。

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引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:08 發表

請問出現部分負數的情形,應該有拼不起來的吧?
不然2^3=8,應該有8組解,但軟體算實際是4組。
不會拼不起來,因為角度就設計好剛好360度。

應該8組,但
正正正跟負負負一樣,圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣,圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣,圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣,圖形對原點對稱
所以可以只看四組…

晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…

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第五題(分正負)

借用chu的圖

(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y-\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|+\frac{|y|z}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為

於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x||y|+\frac{|y|z}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(5) 若x<0,y<0,z<0,圖形跟(1)的一樣,但點對稱於原點,就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x||y|+\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(6)若x>0, y<0, z<0,圖形跟(2)的一樣,但點對稱於原點,就不再畫了。
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|-\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(7)若x<0,y>0,z<0,圖形跟(3)的一樣,但點對稱於原點,就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y+\frac{y|z|}2-\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(8)若x>0, y>0, z<0,圖形跟(4)的一樣,但點對稱於原點,就不再畫了。
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-xy+\frac{y|z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)

其實只要O點在三角形ABC外,就會是\(-6\sqrt{22}\),在三角形ABC內,就會是\(6\sqrt{22}\)。

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引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 23:18 發表


不會拼不起來,因為角度就設計好剛好360度。

應該8組,但
正正正跟負負負一樣,圖形轉180度
正正負跟負負正一樣,圖形轉180度
正負正跟負正負一樣,圖形轉180度
正負負跟負正正一樣,圖形轉180度
所以只有四組…

晚點、或明 ...
軟體的四組,沒有將正正正跟負負負合併為一組。

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引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:38 發表
軟體的四組,沒有將正正正跟負負負合併為一組。
應該8組,因為沒有給初始值,所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑,找出4組,已經算好的了。
我用maple跑,只找出2組。
但初始值給的好,跑出比較多,這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了,要看解是不是stable,這扯太遠了,詳細要看一下數值分析。

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第5題(用有向面積)

原題可化為\(\begin{cases} x^2+y^2-2xy\cos 90^\circ=(3\sqrt{2})^2\\
y^2+z^2-2yz\cos 150^\circ=(\sqrt{13})^2\\
x^2+z^2-2xz\cos 120^\circ=(\sqrt{19})^2\end{cases}\)
建構\(\overline{OA}=x, \overline{OB}=y, \overline{OC}=z\)皆為有向長度(可正可負)。
且\(\angle AOB=90^\circ, \angle BOC=150^\circ, \angle AOC=120^\circ\)。
而\(\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA\)也是有向面積。
於是\(|\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
所以\(\frac12|xy\sin 90^\circ+yz\sin150^\circ+xz\sin120^\circ|=\frac12|xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\pm 6\sqrt{22}\)

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