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填充6.
設\(z\)為複數且虛部不等於0，已知\(|\;z|\;\in N\)且\(\displaystyle \frac{z-1}{z^2}\in R\)，試求\(z=\)？
[解答]
沒有想到什麼特別的方法，就直接硬做
設 \( z = x + yi \)，其中 \( x,y \in {\mathbb{R}} \) 且 \( y \neq 0 \)
令 實數 \( r = \frac{z - 1}{z^2} \)
則 \( (x - 1) + yi = r(x^2 - y^2 + 2xyi)\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} x - 1 = r(x^2 - y^2) \\ y = 2rxy \end{array}\right. \)
又 \( y \neq 0 \)，故 \( r = \frac{1}{2x} \)
\( \Rightarrow 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \)
\( \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow | z| \leq 2 \)
又 \( |z| \in \mathbb N \) 故 \( |z| =1 \) 或 2
若 \( |z| =2 \)，則 \( z = 2 +0i \)，與 \( y \neq 0 \) 矛盾
故 \( |z|=1 \)，即 \( x^2+y^2 =1 \)
代回 \( 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \) 可得 \( x = \frac12, y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
故 \( z = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)
