第 8 題
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
5 天吃吐司，2^4 * C(5，5)
4 天吃吐司，2^5 * C(6，4)
3 天吃吐司，2^6 * C(7，3)
2 天吃吐司，2^7 * C(8，2)
1 天吃吐司，2^8 * C(9，1)
0 天吃吐司，2^9
加起來

第 10 題
坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
[解答]
令直線 L 的方程式為 y = mx + n
y = x^4 - 3x^2 + 2x + 3 與直線 L 相切於相異兩點
表示 x^4 - 3x^2 + 2x + 3 = mx + n 有兩相異重根
令兩相異重根為 a 和 b
(x - a)^2(x - b)^2 = x^4 - 3x^2 + (2 - m)x + (3 - n)
分別比較兩邊的 x^3、x^2、x 和常數項係數，可得
-2a - 2b = 0
a^2 + 4ab + b^2 = -3
-2a^2b - 2ab^2 = 2 - m
a^2b^2 = 3 - n

化簡可得 m = 2，n = 3/4

填充題
1.
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標分別為\(A(1,0,0)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，而\(C\)城市正好是\(A\)，\(B\)兩個城市之間最短路徑的中點，試求\(C\)城市的坐標為？

假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)

5.
設\(f(x)=\sqrt{10x-x^2}-\sqrt{16x-x^2-60}\)，求\(f(x)\)的最大值。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
[解答]
\(\sqrt{10x-x^2}\)為圓方程式\((x-5)^2+y^2=25\)的上半圓
\(\sqrt{16x-x^2-60}\)為圓方程式\((x-8)^2+y^2=4\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{6}\)

試求\(f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}\)的最大值？
(1993AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_26)
[解答]
\(\sqrt{8x-x^2}\)為圓方程式\((x-4)^2+y^2=16\)的上半圓
\(\sqrt{14x-x^2-48}\)為圓方程式\((x-7)^2+y^2=1\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{3}\)

9.
設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？

15.
設\(0\le x\le 4\pi\)，試求\(9cos^2x-3sinx-7=0\)的所有根的總和。

設\(0\le x\le 2\pi\)，試問\(tan^2x-9tanx+1=0\)之各根總和為　　　。
(A)\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)　(B)\(\pi\)　(C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\)　(D)\(3\pi\)　(E)\(4\pi\)
(1989AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_28)

16.
若\(S_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle T_n=\frac{S_2}{S_2-1}\times \frac{S_3}{S_3-1}\times \frac{S_4}{S_4-1}\times \ldots \times \frac{S_n}{S_n-1}\)，其中\(n=2,3,4,\ldots\)。則\(T_{1998}=\)？

對每個大於1的正整數\(n\)，令\(T_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle P_n=\frac{T_2}{T_2-1}\times \frac{T_3}{T_3-1}\times \ldots \times \frac{T_n}{T_n-1}\)，則\(P_{2003}=\)　　　。(以最簡分數表示)
(92高中數學能力競賽北區第三區試題二)

計算證明題
1.
設整數\(x,y\)滿足\(logx+logy\)為整數，但\(logx\)、\(logy\)及\(logx^3y^2\)都不是整數，若\(x^3y^2\)是一個6位數，則求所有的整數數對\((x,y)\)。
(103新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-1913-1-1.html)

3.
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{k(k+1)}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}=\)？
(98玉井工商，https://math.pro/db/thread-811-1-1.html)

謝謝老師

填充12題
設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\)，\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點，過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面，將正四面體截成上下兩部分，令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\)，另一部分體積為\(n\)，試求\(\displaystyle \frac{m}{n}=\)？
[解答]
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點

\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線，由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)

\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

請教第7題

第 7 題：
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BD}=2\sqrt{5}\)，且\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)。則\(\overline{AC}=\)？
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，則

\(\displaystyle \vec{AC} = 4\left(\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AB}\right) = 4\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AE}:\overline{EC}=1:3, \overline{BE}:\overline{ED}=3:5\)

由圓的內冪性質， \(\displaystyle \overline{AE}\times\overline{EC}=\overline{BE}\times\overline{ED}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AC}\times\frac{3}{4}\overline{AC} = \frac{3}{8}\overline{BD}\times\frac{5}{8}\overline{DB}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\overline{BD}=5\) 。

第 8 題：
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
設小南接下來的 \(n\) 天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，

但不連續兩天吃土司的 \(n\) 天早餐安排法有 \(a_n\) 種，則

\(\displaystyle a_1 = 3, a_2 = 8, a_n = 2\times a_{n-1} + 1\times 2\times a_{n-1}, \forall n\geq 3\)，

（說明：若第一天不吃吐司，則第一天有兩種選擇，且剩下\(n-1\)天有\(a_{n-1}\) 種安排法，

　　　　若第一天吃吐司，則第一、二天共有 \(1\times2\)種選擇，且剩下 \(n-2\) 天有 \(a_{n-2}\) 種安排法。）

得 \(\displaystyle a_3 = 2\left(a_2+a_1\right) = 22, a_4 = 2\left(a_3+a_2\right) = 60, ..., a_9 = 9136\) 。

註：通解 \(\displaystyle a_n = \frac{3-2\sqrt{3}}{6}\left(1-\sqrt{3}\right)^n+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\left(1+\sqrt{3}\right)^n\)

謝謝老師，一直忘記有內冪性質可以使用

南女的題目會不會出太多題？