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在\(C_0^{2022}\)、\(C_1^{2022}\)、\(C_2^{2022}\)、\(\ldots\)、\(C_{2022}^{2022}\)這2023個數之中,有 個數是3的倍數。
[解答]
題目等同詢問 哪些數在模3之下為0
考慮\(2022=(2202220)_3\),若\(k=(abcdefg)_3\)
則\(\displaystyle C^{2022}_k \equiv C^2_a C^2_b C^0_c \cdots C^0_g (mod 3)\)
若\(c=g=0\)則 \(\displaystyle C^{2022}_k\)必不為3的倍數
即\(a,b,d,e,f\)有\(0,1,2\)三種選法,共有243種
所求為2023-243=1780