計算1.
已知橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的焦點為\(F_1,F_2\)，直線\(L\)通過\(F_1\)且與橢圓交於\(A,B\)兩點，
(1)求\(\Delta F_2AB\)的周長。
(2)求\(\Delta F_2AB\)面積的最大值。
[解答]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 \( x^2 + y^2 =a^2 \)

新的弦以 \( \overline{A'B'} \) 表示之，假設其與 \( \overline{F_1F_2} \) 的夾角為 \( \theta \)

以 \( \theta \) 表示三角形面積可得 \( \triangle F_2A'B' = \frac12 \times 2c \times 2\sqrt{a^2-c^2\sin^2\theta} \sin\theta \)

令 \( t = \sin^2 t \)，則上式平方為 \( \triangle'^{2}=4c^{2}(a^{2}t-c^{2}t^{2}) \)

當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}\leq1 \) 時，\( \sin^{2}\theta=t=\frac{a^2}{2c^{2}} \) 時有最大值，開根號再壓扁得最大面積為 \( ab \)

當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}>1 \) 時，\( \theta=\frac{\pi}{2}, t=1 \) 時有最大值，壓扁回橢圓時，該弦就是正焦弦，最大面積為 \( \frac{2b^2c}{a} \)

回復 10# leo790124 的帖子
是我不小心寫錯，已修正為 \(\displaystyle \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \)，
也就是 \( 52^2 = 103 \times 26 + 26 \)

請問填充9，11，謝謝

第9題：
已知實係數三次函數\(\displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3-bx^2+(2-b)x+1\)，\(f(x)\)在\(x=x_1\)處有極大值，在\(x=x_2\)處有極小值，且\(0<x_1<1<x_2<2\)，則\(a+2b\)值的範圍為　　　。
[解答]
依題意，即 \(f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0\) 之二根 \(x_1\), \(x_2\) 滿足 \(0<x_1<1<x_2<2\)，且 \(a>0\)

故須滿足 \(f'(0)>0\), \(f'(1)<0\), \(f'(2)>0\) 且 \(a>0\)

由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！

第11題：
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)　　　。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...

設 \(f(x)=ax^3+bx\) \(\Rightarrow f'(x)=3ax^2+b\)

設切點 \(P(t,at^3+bt)\), \(t>0\)，則 \(\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x\)

求 \(\overleftrightarrow{OA}\) 與 \(\Gamma\) 交點即解方程式 \(f'(t)x-ax^3-bx=0\)    \(\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0\)

可得交點 \(A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)\)

由 \(O,P,A\) 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 \(OAP\) 面積為 \(\sqrt{3}at^4\)  (意外地不難算...)

而弓形面積 \(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4\)

故得所求 \(\displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

想請教填充2 ,3 .5題 謝謝

填充第二題：
已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為　　　。
[解答]
利用x^2+y^2=25
把原式拆成 sqrt(x^2+y^2+8y-6x+25) + sqrt(x^2+y^2+8y+6x+25)
                 =sqrt( (x-3)^2 + (y+4)^2 ) + sqrt( (x+3)^2 + (y+4)^2 )
看成半徑為5的圓上取一點到 (3,-4) , (-3,-4 )的距離和最大
不難看出取 點 (0,5) 時有最大值代入所求為 6 sqrt(10)  
抱歉還不太會用語法，這裡的sqrt 是根號的意思
(我會再花時間看一下寸絲兄的教學XD  讓大家傷眼先說聲不好意思

好久沒上來了，這裡還是一樣充滿熱情，最近又想上來練功一下，
吸取各位先進的知識~

填2.
已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為　　　。
[解答]
我是用了凸函數不等式，對任意 \( a, b>0 \)，不等式 \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} \) 恆成立

以 \( (a,b) = (8y-6x+50, 8y+6x+50) \) 代入得

\( \frac{\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}}{2}\leq\sqrt{\frac{16y+100}{2}}=\sqrt{8y+50}\leq\sqrt{90} \)

因此 \( \sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leq6\sqrt{10} \)

兩個 \( \leq \) 在 \( (x,y)=(0,5) \) 時，等號同時成立

故最大值為 \( 6\sqrt{10} \)

回復 13# Pacers31 的帖子

填11.
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)　　　。
[解答]
透過伸縮變換，面積比保持不變，故不失一般性可假設曲線方程式為 \( y=x^3+x \)

然後做相同的積分

填充第二題：
已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為　　　。
[解答]
利用 \({x^2} + {y^2} = 25\)
把原式拆成 \(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y - 6x + 25}  + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y + 6x + 25} \\
= \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}
\end{array}\)
看成半徑為\(5\)的圓上取一點到 \((3,-4) , (-3,-4 )\)的距離和最大
不難看出取點 \((0,5)\) 時有最大值代入所求為  \(6\sqrt {10} \)

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-7 07:06 PM 發表
填2. 我是用了凸函數不等式，對任意 \( a, b>0 \)，不等式 \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} \) 恆成立

柯西不等式也可以~

第3題：
已知數值資料\(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\)，其中\(\displaystyle \frac{i}{n}\)有\((2i+1)\)個，\(i=1,2,3,\ldots,n\)，\(n\in N\)。設此資料算術平均數為\(\mu\)，母體標準差為\(\sigma\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=\)　　　。
[解答]
設隨機變數 \(\displaystyle X=\frac{i}{n}\), \(i=1,2,\cdots, or\ n\)，滿足 \(\displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}\)

由等式 \(E[X^2]=\sigma^2+\mu^2\)

可得 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}\)

111.2.22補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)　　　，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)　　　。
(81大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-5-7 04:26 PM 發表
第9題：

依題意，即 \(f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0\) 之二根 \(x_1\), \(x_2\) 滿足 \(00\)，則 \(\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x\)

求 \(\overleftrightarrow{OA}\) 與 \(\Gamma\) 交點即解方程式 \(f'(t)x-ax^3-bx=0\)  ...

參考這篇大師們所寫的文章
h ttp://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=604c7541-5cda-4659-aa7b-14369827978b　連結已失效