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設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\),\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點,過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面,將正四面體截成上下兩部分,令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\),另一部分體積為\(n\),試求\(\displaystyle \frac{m}{n}=\)?
[解答]
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點,\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點
\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線,由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)
\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高,底面積之比)
故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高,底面積之比)