填充 5.
從集合\(\{\;0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\;\)中隨機選取4個互不相同的數，則其中任意兩個數的和均不等於10的機率為　　　。
[解答]
將和為 10 的兩數分成一組，以及單獨 5 一個數一組，可得以下
\( (0,10), (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) \) 及 5
欲使選取到的數，任兩個的和均不等於 10
則每組至多取一數
再分成沒5和有5的情況
故所求 \(\displaystyle \frac{C^5_4 \times 2^4 + C^5_3 \times 2^3}{C^{11}_4} = \frac{16}{33} \)

填充11.
已知三直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+1}{3}\)，\(L_3\)：\(\displaystyle \frac{x-4}{4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}\)，若直線\(L_1\)與\(L_2\)、\(L_3\)均相交，求\(a:b:c=\)　　　。(以最簡整數比表之)
[解答]
令 \( P(2+2t,-2+4t,-1+3t) \) 為 \( L_{1} \) 和 \( L_{2} \) 的交點，顯然 \( P \) 非原點。

令 \( Q(4+4s,-1+2s,2+3s) \) 為 \( L_{1} \) 和 \( L_{3} \) 的交點。

以上兩點均在 \(\displaystyle L_{1}:\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} \) 且 \( P \) 非原點，故存在實數 \( k \) 滿足

\( k(2+2t,-2+4t,-1+3t)=(4+4s,-1+2s,2+3s) \)

\( \Rightarrow\begin{cases}
2k+2kt & =4+4s\\
-2k+4kt & =-1+2s\\
-k+3kt & =2+3s
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
6k & =9+6s\\
8k & =8+6s
\end{cases} \)

\( k=-\frac{1}{2}, s=-2, t=3 \)

故\(  P \)  之坐標為 \( P(-4,-5,-4) \)，所求 \( a:b:c=4:5:4 \)

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-30 21:25 發表

tsusy解的是填五~ 他問填六

看錯題，SORRY

另外，證明2.

當 \( A \) 為 \( (-x_0, -y_0) \) 時，此時 \( B \) 可為此雙曲線上的任一點 (題目有瑕疵)
此時 (1) 不一定垂直 (2) AB的距離可以任意接近 0