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112新竹市國中聯招

本主題由 bugmens 於 2024-3-8 19:23 合併

回覆 1# Hawlee 的帖子

74.
若\(A\)為\(R\)的部份集合,且\(f(x)\):\(A \to R\)為一連續函數。
甲:若\(f(a)<m<f(b)\),則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=m\)。
乙:若\(f(a)=f(b)\),則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=f(a)=f(b)\)。
有關甲、乙的推論,下列選項何者正確?
(A)甲和乙皆正確
(B)僅甲正確
(C)僅乙正確
(D)甲和乙皆不正確
[解答]
檢查一下題目或答案有沒有錯
甲的反例發生在 \( A \) 不連通時
例如 \( A = \mathbb{R \backslash \{0\}} \), \( f(x) = \frac{1}{x} \)
\( f(-1) = -1 < 0 < 1 = f(1) \),但不存在 \( c \in A\) 使得 \( f(c) = 0 \)
通常是卡在連續函數的定義(可以回去翻高微)

乙的部分,直接取 \( c=a \),就會有 \( f(c) = f(a) = f(b) \) 了
因此必然是正確的。
(題目抄錯?出錯?答案給錯?)

但此推論,顯然沒什麼用,此命題應該增加條件在「則的部分」:則 \( \exists c \in A \) 且 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 且 ...
增加了 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 的限制後,才會是錯的推論,反例像是 \( f(x) =x^2 \) 很容易找,
這麼一來,好像又太簡單了...

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-3-12 14:30 編輯 ]
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