這題的答案是對，但詳解沒有「詳細」。
其實這個寫成黎曼和後，缺了一項，所以應該要再加一項減一項(看是要補第0項或第n項都可以，一個左和一個右和)
然後最後的再說明減的那一項取極限後是0。

若視為左和，
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times0^2}+\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}-\sqrt{4n^2+9\times0^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)

若想視為右和，也可以
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}+\sqrt{4n^2+9\times n^2}-\sqrt{4n^2+9\times n^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{13}n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)

要嚴僅的話，還要說明limit拆兩個相減，必須要極限存在。

事實上，中間拿掉有限項，收斂值不變，但高中應該是沒講這個。

我的感覺是出題老師少寫了一項，只是還好答案沒變。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 17:27 編輯 ]

選項(4)其實是在提醒學生對稱，
所以選項(5)
移到10跟移到2機率一樣，在算期望值時，平均就是6。
移到8跟移到4機率一樣，在算期望值時，平均就是6。
移到6算期望值時，本來就是6。
移到12時，會多出6，所以只要算多出多少即可。

因此8次回到12的機率\(C^8_4/2^8\)
答案為\(E(X_8)=6+6P(X_8=12)=6+6\times C^8_4/2^8=6+\frac{420}{256}\)
明顯後面的分數比1大，所以\(E(X_8)>7\)

這題目出的不好，計算量太大，若要減少計算，其實改成「\(E(X_8)>6\)」或「\(E(X_9)=6\)」，這樣就可以不用算，一看就知道答案。
可以推廣成「對於所有的\(n\)，算\(E(X_{n})\)」

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-15 09:22 編輯 ]

這題其實在引導學生求出複數方程式\(z^3=4i\bar{z}\)的所有解，當然，題目不會直接這樣寫。
(2)提示說此方程式都在半徑2的圓上
(3)提示說只要有一解，則轉90度，就還會是解。光這點，就知道解的數目是4的倍數，所以(5)是錯的。
(4)就代一下角度\(\pi/6\)即可知不合。

分成兩類
(1) 1~9各1張，選四張排出比6400大的有幾個？\(1\times5\times7\times6+3\times8\times7\times6=1218\)
(2) 12345679選兩張，與兩張8來排列，有幾個？\(C^4_2\times8\times7=336\)
兩個加起來，共\(1554\)

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 14:45 編輯 ]