引用:

原帖由 年獸 於 2023-4-25 20:57 發表
可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝

這題的確有你說的問題，題目出的不好，
第一，他問「至少」。答案寫至少1人，2人，邏輯上也沒有錯，反正至少嘛…

第二，不要吹毛求庛的話，假設我們知道這題在問「最少保證n人在介於(50,70)間，有例子存在，且可以說明n-1不滿足」。
用柴比雪夫算完，是大於等於27，若連續的話沒問題，但這是離散型的，所以邊界要check。
下面說明恰27是不可能的：
因為平均是60，假設27個人是60，剩9個人\(x_1,\dots,x_9\)跟60都要差10分以上，所以變異數在計算時就會多了\(10^2\times 9=900\)，
此時標準差恰為\(\sqrt{\frac{900}{36}}=5\)，只要27個人的分數偏離了60，或是這9人分數離60再遠一點，都會導致標準差變大，也就是這是最緊的情況。
也就是這9個人不是50就是70，但他們的平均又要60，9是奇數，所以不可能。
(或嚴僅一點，\(60=\frac{50n+70(9-n)}9\)解得\(n=4.5\)，如果可以4.5人是50分，4.5人是70，那就可以，但人數是整數，所以不可能。)
所以此題答案應該是28，
例子：28個60分，4個人\(60+\frac{15}{\sqrt{2}}\)，4個人\(60-\frac{15}{\sqrt{2}}\)，這樣剛好36人平均60，標準差5。
(註：解\(8(x-60)^2=900\)，得\(x=60\pm\frac{15}{\sqrt{2}}\))。

可以提疑議了…
但不要主張答案28，要主張28以下的數都對，才不會害到寫27的人…

將3組小括弧、2組方括弧、1組角括弧排成一列，各種括弧之間沒有先後使用的規定，但是每一組括弧的左括弧必須排在右括弧的左邊，而且每一組括弧中間如果有其他括弧，則這些括弧必須是完整的一組括弧；舉例來說：(<>)[()[]]()是一種合格的排列法，而<)(>[([])]()與(<)>[([])]()都是不合格的排列法。
請問以上的6組括弧，共有幾種合格的排列法？ 答：　　　種。
[解答]
我們知道括號的問題跟Catalan Number有關，
但此題的括號數跟一般的括號不太一樣，
先所有的都看成小括號，
若
1組：()，1種
2組：()(), (())，2種
3組：()()(), (())(), ()(()), (()()), ((()))，5種
4組：()()()()，(()())(), ()(()()), (((()))), (()()()), ((()())), ((()))(), ()((())), (())(()), (())()(), ()()(()), ()(())(), ((())()), (()(()))，14種

可以視為Dick Path, 左括號就是往上走，右括號就往下走，不能低於水平線…
所以6組括號\(C_6=132\)，再乘\(\frac{6!}{3!2!1!}=60\)，所以是\(132\times60=7920\)。

我一開始列錯了，還以為答案錯了…

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-26 23:24 發表
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法

x,y,z都負的話，答案還是正吧…

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-27 08:48 發表
用電腦算x，y，z  有同時正負号的解
導致所求是負的

x,y,z可以全負，但因為最後要算的是xy,yz,xz，所以還是變為正的。

我算只有數值解，沒有symbolic的解
{x = 3.520435185, y = 2.367812516, z = 1.355051591}
{x = -3.520435185, y = -2.367812516, z = -1.355051591}

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-27 09:03 發表

高維度的，數值解會跟初始值有關，Matlab還是比較強。

不過應該是有8組，可以自訂一下initial point看看。

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 10:16 發表
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ ...

ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 13:37 發表
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？

這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子

a.png (4.04 KB)

2023-4-27 20:58

因為\(x, y, \sqrt{18}>0\)所以可以視為三角形的三邊，而且x, y的夾角90度，可以畫成下面的樣子

Screenshot from 2023-04-26 15-54-38.png (9.07 KB)

2023-4-27 20:58

另兩個式子亦同，然後把三個三角形一樣長的邊組合起來，就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…

我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧？

其實這方法我是第一次看到，覺得很神奇，
跟在教書的學生分享，他卻跟我說，這是基本的，他的講議有…

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 21:26 發表
要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？

不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。

引用:

另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？ ...

若x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b，可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。

負的話也可以，只是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)，一樣任兩邊和大於第三邊。

引用:

原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:08 發表

請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。

不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣，圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣，圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣，圖形對原點對稱
所以可以只看四組…

晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…

借用chu的圖

A.jpg (67.15 KB)

2023-4-27 23:25

(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為

b.png (25 KB)

2023-4-27 23:28

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為

c.png (18.85 KB)

2023-4-27 23:55

於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y-\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為

d.png (18.75 KB)

2023-4-28 00:04

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|+\frac{|y|z}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為

e.png (14.53 KB)

2023-4-28 00:12

於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x||y|+\frac{|y|z}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(5) 若x<0,y<0,z<0，圖形跟(1)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x||y|+\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(6)若x>0, y<0, z<0，圖形跟(2)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|-\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(7)若x<0,y>0,z<0，圖形跟(3)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y+\frac{y|z|}2-\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(8)若x>0, y>0, z<0，圖形跟(4)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-xy+\frac{y|z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)

其實只要O點在三角形ABC外，就會是\(-6\sqrt{22}\)，在三角形ABC內，就會是\(6\sqrt{22}\)。