想問填充12

目前思路是分成好幾組，總和為6,12,18,24，然後往下分成千位數字是0,1，再分支成結尾為0,2,4,6,8

不算太難算，因為各組的結果數都在10以下，

但是就是要分成好幾組，我這樣分了31組，最後雖然答案正確，但覺得在考場上分成３１組還要再相加，依我的狀況很有可能會粗心在某個地方。

所以想問問其他解法。

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-24 17:17 編輯 ]

引用:

原帖由 CYC 於 2023-4-24 14:59 發表
請問填充第七題

設 \(g(x)=f(x)\cdot (x+1)\)　，在 \(x>0\) 的情況下，我們所要找的就是\(g(x)>k\)恆成立
　
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。

而解 \(g'(x)=0\) ， 即是解 \(x^2-x\ln (x+1)-\ln (x+1)-1=0\) ，

而不難看出 \(x=-1\) 是個看起來可用的解，但實際上卻不能用，不過可以靠他幫我們因式分解，即得到

解 \((x+1)(x-1-\ln (x+1))=0\)  推得導數為0之處，會有 \(x-1=\ln (x+1)\) ，

接著畫圖找兩圖形 \(y=x-1\text{ and }y=\ln (x+1)\) 的交點，可得到兩點， 取x座標為正的那點，設其x座標為 \(a\)

由圖形也不難推得，\(g'(x)\) 在 \(x=a\) 附近是由負轉正，故 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 有最小值。

代x=a 到g(x)中，記得利用 \(a-1=\ln (a+1)\)  ，即可得到 \(g(a)=a+1\)　

而比較 \(x-1\text{ and }\ln (x+1)\) ， 可得\(2-1=1<\ln(2+1)\text{ and }3-1=2>\ln(3+1)\)，故a介於2~3之間

故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間，取k=3

感謝鋼琴老師和寸絲老師回覆第12題

感覺上這類題目 mod 同餘 是很好用的武器。

鋼琴老師的方法雖然看起來也分很多分支，但是 d=0 , d=6 同餘，　d=2,d=8同餘
就已經比我原本的分支省掉非常多計算步驟了

寸絲老師的方法去看b+c模6的分類，也真的是很漂亮的觀察，而且看起來就更簡潔了

謝謝兩位老師

==以下為我的方法==
2000以上的窮舉就好，只有2004和2022

因為是6的倍數，故個位數字必定是偶數，
接下來以各位數之和去分類，然後固定住千位數字和個位數字去計算：

總和為6：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：5種、　0 _ _ 4 ：3種、　0 _ _ 6 ：1種　；
1 _ _ 0 ：6種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：2種　。
共28種

總和為12：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：9種、　0 _ _ 4 ：9種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：5種　；　
1 _ _ 0 ：8種、　1 _ _ 2 ：10種、　1 _ _ 4 ：8種、　1 _ _ 6 ：6種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共73種


總和為18：
0 _ _ 0 ：1種、　0 _ _ 2 ：3種、　0 _ _ 4 ：5種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：9種　；　
1 _ _ 0 ：2種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：6種、　1 _ _ 6 ：8種、　1 _ _ 8 ：10種　。　
共55種


總和為24： 各數字不能在4以下
0 _ _ 6 ：1種、　0 _ _ 8 ：3種　；　
1 _ _ 6 ：2種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共10種

故共有28+73+55+10+2=168種

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-25 12:31 編輯 ]