第一部分：選擇題
二、複選題
9.
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)之圖形的所有切線中，以過切點\((1,0)\)之切線斜率為最小，且此切線亦通過原點，則下列哪些選項是正確的？
(A)\(f''(1)=0\)　(B)\(f(x)\)沒有極大值　(C)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切　(D)方程式\(f(x)=1\)有三相異實根

設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求\(a,b,c\)之值及切線方程式　　　。
(98家齊女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)

第二部分：綜合題
一、填充題
1.
設\(f(x)=x^2-16\)，若\(P=\{\;x_0,x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots,x_{n-1},x_n \}\;\)為\([1,3]\)的\(n\)等分割，\(n\in N\)，且知黎曼下和\(L_n\)，且知黎曼上和\(U_n\)，若\(\displaystyle |\;U_n-L_n|\;<\frac{1}{10000}\)，試求最小之自然數\(n\)？

3.
設\(O\)為\(\Delta ABC\)的外心，若\(\vec{AO}=\vec{AB}+3\vec{AC}\)，則\(sin\angle BAC=\)？

已知銳角\(\Delta ABC\)的外心為\(O\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AC}=10\)，若\(\vec{AO}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\)，且\(2x+10y=5\)，求\(cos(\angle BAC)=\)　　　。
(104陽明高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2260&page=3#pid13589)

5.
自\(P_1(1,0)\)作\(x\)軸的垂直線交拋物線\(y=x^2\)於\(Q_1(1,1)\)，再由\(Q_1\)作此拋物線的切線交\(x\)軸於\(P_2\)，又自\(P_2\)作\(x\)軸的垂線交此拋物線於\(Q_2\)，如此依序進行，試求級數\(\overline{P_1Q_1}+\overline{P_2Q_2}+\ldots+\overline{P_nQ_n}+\ldots\)之和。
(110台南女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=6#pid22659)

二、計算證明題
1.
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\)，試用高中數學的方法證明\(|\;r|\;\le 1\)。
(在99課綱中談相關係數\(-1\le r \le 1\)，連結有解答https://web.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d364/36403.pdf)

2.
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明：已知點\(P(x_0,y_0)\)，直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)，則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(點到直線的13種證明方法https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183)

3.
令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根，求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何？

\(x^{18}-5x^{11}+1=0\)，求\(\displaystyle \prod_{i=1}^{18}(x_i^2+x_i+1)=\)？
(103大同高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=3#pid13180)