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112師大附中

回覆 1# Superconan 的帖子

第 2 題
已知\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\),且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列,試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)   
[提示]
BC^2、CA^2、AB^2 成等差

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回覆 1# Superconan 的帖子

第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\),則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為   
[另解]
為打字方便,把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示,其共軛複數分別是 p'、q'、r'

p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'

|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p

若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i
|p + 2q + 3r| = |p||1 + 2 ± 3i| = √[(1 + 2)^2 + 3^2] = √18

同理
若 q = r,|p + 2q + 3r| = √[(2 + 3)^2 + 1^2] = √26
若 r = p,|p + 2q + 3r| = √[(3 + 1)^2 + 2^2] = √20

|p + 2q + 3r| 的最大值為 √26

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回覆 48# a5385928 的帖子

第 10 題
在\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)的外側分別作正三角形\(\Delta ABD\)與\(\Delta ACE\),已知\(\overline{AC}=1\)且\(\overline{DE}=2\),則\(\Delta ABC\)面積的最大值為   
[提示]
110 高中數學能力競賽決賽 口試題
https://math.pro/db/thread-3612-1-2.html

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回覆 51# Dragonup 的帖子

112^23 - 2023^12 除以 125 的餘數
相當求 (-13)^23 - 23^12 除以 125 的餘數
這計算量有點大啊

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回覆 55# KenJ 的帖子

第 11 題
若多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^2 f(x)=\frac{36}{5}x^5+6ax^4-4x^3+2\int_a^x t f(t)dt\),其中\(a\)為實數;且\(f(0)=0\)。試求出\(f(x)\)與\(x\)軸之間所圍面積的最小值為   
[解答]
f(x) = 12x(x^2 + ax - 1)
f(x) = 0 之三根為 0、p、q
pq = -1
分成 p 到 0 和 0 到 q 這兩部分積分
利用根與係數,可得所圍面積 = a^4 + 6a^2 + 6
可知 a = 0 時有最小值 6

不過由於 f(1) = f(-1) = 12a
我會猜 a = 0 時,所圍面積有最小值

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回覆 58# three0124 的帖子

當面積 = 1 + √3/4 時,反推回去,可發現 AB * cos角BAC 非實數,換句話說,畫不出這樣的圖形

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回覆 61# jerryborg123 的帖子

題目有說 f(0) = 0

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