第 3 題
13個小正方形排列，若要塗上紅、黃、藍三種顏色，並規定每個小正方形恰塗一色，相鄰不同色，則有　　　種塗法。
[解答]
只看九宮格就好，外面的4格，每格都有2種填法

九宮格中間有3種填法

九宮格中間先塗紅
圖 A 的剩餘空格有\({{2}^{4}}\)種填法
圖 B、C、D、E、F、H 的剩餘空格有\({{2}^{2}}\)種填法
圖 G 的剩餘空格有1種填法
由於黃和藍對稱
故九宮格中間塗紅的情形有\(\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}\times 6+1 \right)\times 2=82\)

所求\(=82\times 3\times {{2}^{4}}=3936\)種

計算第1題
設六個正數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)，滿足\(a+b+c=x+y+z\)，求證：\(\displaystyle \frac{2a^2}{a+x}+\frac{2b^2}{b+y}+\frac{2c^2}{c+z}\ge a+b+c\)。
[解答]
請參考附件

第 13 題
13.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}\)，試求\(\displaystyle f(\frac{1}{2017})+f(\frac{2}{2017})+f(\frac{3}{2017})+\ldots+f(\frac{2016}{2017})=\)　　　。
[提示]
老梗題
f(a) + f(1 - a) = 1

第8題
已知一雙曲線上任一點\(P(x,y)\)滿足到直線\(4x+y=2\)及\(4x-y=0\)的距離乘積為定值2，則該雙曲線的焦點到中心的距離為　　　。
[解答]
雙曲線\(\frac{{{\left( x-h \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\left( y-k \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)上任一點到兩漸近線\(b\left( x-h \right)+a\left( y-k \right)=0,b\left( x-h \right)-a\left( y-k \right)=0\)之距離乘積為定值\(\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & b=4a \\
& \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2 \\
\end{align} \right. \\
& c=\frac{17}{4}\sqrt{2} \\
\end{align}\)

填充第2題
已知\(10=2^3+2\)可用二進位表示\((1010)_2\)，是二進位中的4位數；\(100=2^6+2^5+2^2\)可用二進位表示為\((1100100)_2\)，是二進位中的7位數。請問\(10^{100}\)是二進位中的　　　位數。(\(log2=0.3010\))
[提示]
\({{2}^{n}}<{{10}^{100}}<{{2}^{n+1}},n\in N\)
所求是\(n+1\)

很漂亮的做法

等號右邊 sinx 那裡少打了 sin30度