第 9 題
設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？
[解答]
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2，(n + 3)^2，(n + 4)^2，(n + 5)^2，(n + 6)^2
可得 n = 39

第 13 題
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2，更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3，更換 1 次
：
：
所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

連接 A、B、C 三點剛好是以角 A 為直角的直角三角形
除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線，利用直角三角形三邊長和子母相似，可很快求出另一個答案

第 8 題
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
5 天吃吐司，2^4 * C(5，5)
4 天吃吐司，2^5 * C(6，4)
3 天吃吐司，2^6 * C(7，3)
2 天吃吐司，2^7 * C(8，2)
1 天吃吐司，2^8 * C(9，1)
0 天吃吐司，2^9
加起來

第 10 題
坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
[解答]
令直線 L 的方程式為 y = mx + n
y = x^4 - 3x^2 + 2x + 3 與直線 L 相切於相異兩點
表示 x^4 - 3x^2 + 2x + 3 = mx + n 有兩相異重根
令兩相異重根為 a 和 b
(x - a)^2(x - b)^2 = x^4 - 3x^2 + (2 - m)x + (3 - n)
分別比較兩邊的 x^3、x^2、x 和常數項係數，可得
-2a - 2b = 0
a^2 + 4ab + b^2 = -3
-2a^2b - 2ab^2 = 2 - m
a^2b^2 = 3 - n

化簡可得 m = 2，n = 3/4