第 6 題
若\(S\)是滿足\(0<x\le 1\)、\(0<y\le 1\)且\(\displaystyle \left[log_2 \left(\frac{1}{x}\right)\right]\)與\(\displaystyle \left[log_3 \left(\frac{1}{y}\right)\right]\)均為奇數的坐標\((x,y)\)所組成的集合，則集合\(S\)所表示的圖形面積為　　　。(\(\left[x\right]\)表不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2≦1/x＜4，1/4＜x≦1/2
8≦1/x＜16，1/16＜x≦1/8
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3≦1/y＜9，1/9＜x≦1/3
27≦1/y＜81，1/81＜x≦1/27
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所求 = [(1/2 - 1/4) + (1/8 - 1/16) + ...][(1/3 - 1/9) + (1/27 - 1/81) + ...] = (1/3)(1/4) = 1/12

第 9 題
設\(A(1,\sqrt{3}),B(1,-\sqrt{3})\)為平面上兩定點，動點\(P\)在線段ˋ\(\overline{AB}\)上。\(O\)為原點，且\(Q\)在射線\(\overline{OP}\)上，並滿足\(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=4\)。當動點\(P\)由\(A\)沿著線段\(\overline{AB}\)移動到\(B\)時，試求\(Q\)點軌跡圖形的路徑長為何？　　　
[解答]
O(0，0)、P(1，t)，-√3 ≦ t ≦ √3，Q(x，y)，x ≧ 1
OP^2 * OQ^2 = (t^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16

OP 和 OQ 斜率相同，可得 t = y/x

(y^2/x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 16x^2 = 0
(x^2 + 4x + y^2)(x^2 - 4x + y^2) = 0
[(x + 2)^2 + y^2 - 4][(x - 2)^2 + y^2 - 4] = 0
(x + 2)^2 + y^2 = 4 (不合，因 x ≧ 1) or (x - 2)^2 + y^2 = 4

所求為以 O'(2，0) 為圓心，半徑為 2 的圓周長 扣掉 弧AB(120度) 的長 = 4π * (2/3) = (8/3)π

第 8 題
設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)　　　。
[解答]
分子和分母同除以 n^3
(1/n){1 + 1/(1 + 1/n)^3 + 1/(1 + 2/n)^3 + …… + 1/[1 + (2n - 1)/n]^3}
所求 = 1/(1 + x)^3，從 0 積到 2

第 10 題
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為　　　杯。
[解答]
以 A、B、C 代之
P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(C) = 1/6

P(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之機率，重複出現的略去
E(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之期望次數

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
P(A→C→B) = (1/2) * [(1/6)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/6
P(B→A→C) = (1/3) * [(1/2)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/4
P(B→C→A) = (1/3) * [(1/6)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/12
P(C→A→B) = (1/6) * [(1/2)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/10
P(C→B→A) = (1/6) * [(1/3)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/15

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
E(A→C→B) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/6)] = 6
E(B→A→C) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/2)] = 17/2
E(B→C→A) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/6)] = 9/2
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5
E(C→B→A) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/3)] = 21/5

所求 = (1/3) * 9 + (1/6) * 6 + (1/4) * (17/2) + (1/12) * (9/2) + (1/10) * (26/5) + (1/15) * (21/5) = 73/10

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
先抽到 A 的機率是 1/2，之後若再抽到 A 則略去，從 B 和 C 中，抽到 B 的機率是 [(1/3)/(1 - 1/2)] = 2/3，之後若再抽到 B 則略去，最後只剩 C，抽到的機率是 1

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
先抽 1 張，假設是 A，由於抽到 B 或 C 的機率是 1/2，所以接下來抽到 B 或 C 的期望次數是 2 次，假設先抽到 B，最後抽到 C 的機率是 1/6，期望次數是 6 次

所求就是上面六種情形的加權平均數

第 5 題
小沂在平面上以下面丟骰子的方式前進：丟一公正六面骰子，出現\(n\)點就往前走\(n\)公尺，接著順時針轉60度。接著再繼續丟骰子，如上述方式前進以及轉向。則小沂丟五次骰子並走完後回到原來出發位置的機率為　　　（分母可以不用乘開）。
[解答]
先畫一個正三角形，在右下角截去一個邊長 a 的小正三角形，在左下角截去一個邊長 b 的小正三角形，會得到一個五邊形，這是走 5 次、順時針轉 60 度 4 次能回到出發點的走法

令第三次走的長度是 x，則 5 次走的長度分別是 x + b、a、x、b、x + a
x = 5，a = 1，b = 1
x = 4，a = 1 ~ 2，b = 1 ~ 2
:
:
x = 1，a = 1 ~ 5，b = 1 ~ 5

所求 = (1^2 + 2^2 + … + 5^2) / 6^5

E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5

先抽 1 張，假設是 C，接下來抽到 A 或 B 的機率是 1 - 1/6，所以接下來抽到 A 或 B 的期望次數是 1/(1 - 1/6) 次，假設先抽到 A，最後抽到 B 的機率是 1 - 1/6 - 1/2，期望次數是 1/(1- 1/6 - 1/2) 次

若接下來(第二次)出現 B，而不是 A，就跑到 E(C→B→A)