計算題參考答案
第 1 題 260
100 華江高中二招
101 能力競賽，北一區
105 餐旅高中
109 新北市高中聯招

第 2 題 (e^2 + 1)/4

第 3 題 √3 - √2
105 臺南女中

單選第 7 題
甲、乙、丙三人到迴轉壽司餐廳用餐。餐廳現有10種壽司，每種壽司僅剩2盤。假設每種壽司每個人至多只能拿1盤，用餐完後發現每種壽司都至少有人拿了1盤。試問三人拿取壽司的組合共有多少種？
(A)\(2^{10}\)　(B)\(6^{10}\)　(C)\(7^{10}\)　(D)\(8^{10}\)。
[解答]
對任一種壽司而言，要嘛兩盤都被拿走，要嘛只有一盤被拿走，而這兩種情況都各有 3 種情形
故所求 = 6^10

填充第 8 題
已知\(a>0\)是無理數，若\(P=a^3+3a^2-16a+6\)，\(Q=a^2-2a\)，且\(P\)、\(Q\)皆為有理數，則\(a=\)　　　。
[解答]
Q = (a - 1)^2 - 1 是有理數
可令 a = 1 + √b，其中 b 是有理數，√b 是無理數
P / Q = (a + 5) + [(-6a + 6) / Q] = 6 + √b + [-6√b / (b - 1)] 是有理數
1 + [(-6) / (b - 1)] = 0
b = 7

計算第 3 題
空間中三個非零向量\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)滿足\(\angle AOB=30^{\circ}\)，\(\angle BOC=45^{\circ}\)及\(\angle COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)與平面\(BOC\)的兩面角，試求\(|\;cos \theta|\;=\)？
[解答]
作平面 PQR 垂直 OB，交 OA 於 P，交 OB 於 Q，交 OC 於 R
則 θ = ∠PQR

令 PQ = a，則 OP = 2a，OQ = QR = √3a，OR = √6a
在 △OPR 中，先用餘弦定理求出 PR^2 = (10 - 2√6)a^2
再 △PQR 中，再用餘弦定理求出 cosθ = √2 - √3
所求 = √3 - √2