第 14 題：
方程式\( x^3-19x+a=0 \)的三個根都是整數，求\( a= \)？
[解答]
設三整數根為 \(p,q,r\)

且不失一般性，可假設 \(|p|\geq |q|\geq |r|\)

則 \(p+q+r=0, pq+qr+pr=-19\)

由 \((p+q+r)^2 = p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+pr)\)

可得 \(p^2+q^2+r^2=38\)

　　 \(\Rightarrow (|p|,|q|,|r|)=(6,1,1), (5,3,2), (4,4,2)\)

且由 \(p+q+r=0\)，可得 \((p,q,r)=(5,-3,-2) 或 (-5,3,2)\)

故，\(a=-pqr=-30\) 或 \(30.\)

第 4 題
過\( P(-1,2,-5) \)之直線\( L \)，交\( L_1 \)：\( \displaystyle \frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{-2} \)於\( A \)點，交\( L_2 \)：\( \displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1} \)於\( B \)點，試求出\( B \)點之坐標。
[解答]
設 \(A(-2+t,3+2t,-3-2t), B(2-3s, -2+4s,s)\)

因為 \(P,A,B\) 三點共線，

所以 向量 \(\vec{PA}\) 平行 向量\(\vec{PB},\)

　　 \(\displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}\)

由分數的合分比性質，

可得 \(\displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}\)


　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{2\cdot\left(-1+t\right)+1\cdot\left(1+2t\right)+2\cdot\left(2-2t\right)}{2\cdot\left(3-3s\right)+1\cdot\left(-4+4s\right)+2\cdot\left(5+s\right)}\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=\frac{3}{12}\)

　　 \(\Rightarrow \displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}=\frac{1}{4}\)

　　解聯立方程式可得 \(\displaystyle t=\frac{1}{10}, s=\frac{11}{5}\)

　　故，\(B\) 點坐標為 \(\displaystyle(\frac{-23}{5},\frac{34}{5},\frac{11}{5}).\)




註：要找一組數 \((p,q,r)\) 使得 \((p,q,r)\cdot(1,2,-2)=0\) 且 \((p,q,r)\cdot(-3,4,1)=0\)

　　則利用外積，即可很快得到 \(p:q:r=10:5:10=2:1:2.\)

第 9 題
若\( i=\sqrt{-1} \)，試求出\( \displaystyle \sum_{n=1}^{20}(1+i^n)^n \)的虛部。
[解答]
對任意 \(k=0,1,2,3,4\)

當 \(n= 4k+1\)，則 \((1+i^n)^n=(1+i)^{4k+1}\)

當 \(n= 4k+2\)，則 \((1+i^n)^n=(1-1)^{4k+2}=0\)

當 \(n= 4k+3\)，則 \((1+i^n)^n=(1-i)^{4k+3}\)

當 \(n= 4k+4\)，則 \((1+i^n)^n=(1+1)^{4k}=2^{4k}\)


所以所求之虛部＝\((1+i)^1+(1+i)^5+(1+i)^9+(1+i)^{13}+(1+i)^{17}\)

　　　　　　　　\(+(1-i)^3+(1-i)^7+(1-i)^{11}+(1-i)^{15}+(1-i)^{19}\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　　＝\((1+i)\Big(1+(1+i)^4+(1+i)^8+(1+i)^{12}+(1+i)^{16}\Big)\)

　　　　　　　　\(+(1-i)\Big((1-i)^2+(1-i)^6+(1-i)^{10}+(1-i)^{14}+(1-i)^{18}\Big)\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝\((1+i)\Big(1+(2i)^2+(2i)^4+(2i)^6+(2i)^{8}\Big)\)

　　　　　　　　\(+(1-i)\Big((-2i)+(-2i)^3+(-2i)^5+(-2i)^7+(-2i)^9\Big)\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝\(-205-205i\) 的虛部

　　　　　　＝\(-205.\)

(1) 把合分比裡面分子與分母的 2,1,2 塗掉，試著自己把改 2,1,2 的位置改寫成 p,q,r ，然後再想看看「要怎樣取 p,q,r」 ，才可以讓分子跟分母的 s 與 t 消失呢？((你一定想得出來的))

(2) 試著把你覺得可以，但卻不存在的答案都寫開來，把對應的每個點都找出來，然後想看看有沒有哪裡不合理呢？(我沒有幫你檢查~或許檢查之後，發現一切合理~ 其實有兩個答案也說不定~ 那可能就要反過來想想，我那寫法哪裡可能會有不嚴謹的疏漏~ 導致漏掉另一個答案了呢？ )