觀察三:
對任何正整數 n ,如果 n = fi, for some i
那也就直接得証命題啦。
也就是說,我們真正要證的是 當 fi< n <fi+1, for some i ,則 n 可以表示成此 f1,f2,...,fi 中不重複選取之和。
好吧,那就用數學歸納法証明好了。
就從有缺數字的 f3~f4 ( i=3 的時候 )開始好了。
第一步:當 i = 3 的時候,對任意自然數 n 滿足 f3<n< f4,則 3<n< 5,可得 n = 4 ,且 n = 4 = 1+3 = f1+f3 , n 可以表示成 f1,f2,f3中不重複選取之和。
第二步:假設,對任意自然數 i=3,...,k ,對任何自然數 n ,當 fi< n <fi+1, for some i ,則 n 可以表示成此 f1,f2,...,fi 中不重複選取之和。
則當 i=k+1 時,對任何自然數 n 滿足 fk+1< n <fk+2,
n=fk+1 + (n-fk+1)
^^^^^^^^∵觀察二及 fk+1< n <fk+2 ,所以(n-fk-1)< fk+1恆成立。
故 (n-fk-1)= fi, for some 1≦i≦k 或是
fi<(n-fk-1)<fi+1, for some i =3,...,k 由歸納法假設,可知 (n-fk-1)可以表示成此 f1,f2,...,fi 中不重複選取之和。
故 n=fk+1 + (n-fk+1)可以表示成此 f1,f2,...,fk 及fk+1 中不重複選取之和。
由第一步&第二步,及數學歸納法可知 當 fi< n <fi+1, for some i ,則 n 可以表示成此 f1,f2,...,fi 中不重複選取之和。