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標題: 92台中一中的題目 [打印本頁]

作者: yensheng0122 時間: 2009-4-27 11:46 標題: 92台中一中的題目

真的不知道怎麼想，

x, y為實數，－根號2<x<根號2, y>0 試求(x-y)^2+(根號(2-x^2)+9/y)^2的最小值

作者: bugmens 時間: 2009-4-27 12:31

97全國聯招也有這題,第11篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958(連結已失效)

作者: weiye 時間: 2009-4-27 17:26

類似題：https://math.pro/db/thread-59-1-5.html

作者: yensheng0122 時間: 2009-4-27 20:01

謝謝各位這麼熱心的回答

小弟受教了

尚有一題要請教

一個圓內接四邊形ABCD, AB與CD的延長線交於P點, AD與CB的延長線交於Q點,圓心為O, 已知圓半徑為r , OP=m, OQ=n , 試求 PQ（用r, m,n表示）

作者: weiye 時間: 2009-5-5 20:18

引用:

原帖由 yensheng0122 於 2009-4-27 08:01 PM 發表
謝謝各位這麼熱心的回答

小弟受教了

尚有一題要請教

一個圓內接四邊形ABCD, AB與CD的延長線交於P點, AD與CB的延長線交於Q點,圓心為O, 已知圓半徑為r , OP=m, OQ=n , 試求 PQ（用r, m,n表示）

記錄一下試題出處及解答：

(小地方重新修飾過，並補上一張附圖)

解答：

由圓冪定理，可得

\(\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC} \cdot \overline{PD}\) 且 \(\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}\)

作直線 \(\overleftrightarrow{PO}\) 和圓交於 \(M, N\)，

使得 \(\overline{PM}=\overline{PO}-\overline{OM}=a-r\)， \(\overline{PN}=\overline{PO}+\overline{ON}=a+r\)，則

\[\overline{PM} \cdot \overline{PN}=\left(a-r\right)\left(a+r\right)=a^2-r^2=\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}.\]

同理，

\[\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}=b^2-r^2.\]

作\(\triangle QCD\) 的外接圓，使之與 \(\overline{PQ}\) 交於點 \(K\)，則

\[\overline{PK}\cdot \overline{PQ}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}\, .................\, (1)\]

由於 \( \angle DKQ=\angle DCB \Rightarrow \angle DKP=180^\circ - \angle DKQ = 180^\circ - \angle DCB=\angle DAP \)

所以，\(K, D, A, P\) 四點共圓，因而

\[\overline{QK} \cdot \overline{QP}=\overline{QA}\cdot \overline{QD}\, .................\, (2)\]

由 (1)+(2)，可得

\[\overline{PQ}\cdot \left(\overline{PK}+\overline{QK}\right)=\overline{PC}\cdot \overline{PD}+\overline{QA}\cdot \overline{QD}\]

\[\Rightarrow \overline{PQ}^2=a^2-r^2+b^2-r^2\]

\[\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{a^2+b^2-2r^2}\]

此解答出處：連結已失效h ttp://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609042508270

此解題作者：連結已失效h ttp://tw.knowledge.yahoo.com/my/my?show=AA00640066]Yahoo 知識＋〝面目黧黑的老王〞

此解答作者的網誌：連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/ 老王的夢田

題目出處：2009 政大附中教師甄試

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