標題:
多項式與極限問題
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作者:
tian
時間:
2024-4-1 20:26
標題:
多項式與極限問題
題目如附圖，想請教各位老師是否可以用遞迴的方式處理呢？
感謝各位老師
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作者:
小超人Mo
時間:
2024-4-2 12:00
標題:
回覆 1# tian 的帖子
可以將式子進行變形 (把減掉的部分移到等號右邊想成等比級數)得到方程式x^(n+1)-2x^n+1=0
接著可以發現alpha_n是遞增的 (上界是2)，因此透過單調有界定理得知數列會收斂。
極限值感覺是2，但是可能要再想一下要怎麼嚴格說明，晚點想到繼續回覆~
更新：可以考慮2-1/n，透過中間值定理可以發現根會落在2-1/n和2之間 (需要用二項式定理估計一下)
原本提問時提到的遞迴我沒有很懂，所以分享了自己的做法 (但比較需要對微積分的估計比較敏感)，如果提問的老師如果是想討論自己的做法可以稍微提一下想法，或是寫出一些初步的想法，後續可以再討論看看~
[
本帖最後由 小超人Mo 於 2024-4-2 12:41 編輯
]
作者:
tian
時間:
2024-4-2 13:49
老師你好！
我是這樣做的，但不太確定如何嚴格說明
[
本帖最後由 tian 於 2024-4-2 13:52 編輯
]
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IMG_8140.jpeg
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https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6921&k=0a4cc0f94f8836253f62e048f816a934&t=1715883454
作者:
小超人Mo
時間:
2024-4-2 14:14
標題:
回覆 3# tian 的帖子
證明存在性的部分沒有問題，可是你寫的方式出了一個(還蠻常見的)問題：數列遞增有上界會收斂，但是「不一定會收斂到你挑的那個上界」，除非你可以證明那個上界是「最小上界」。
以這題來說，題目告訴我們上界是2，那3一定也是這個數列的上界，但很顯然這個數列並不會收斂到3。
因此需要進一步說明這個數列真的會收斂到2 (而不是1和2中間的另一個數)
作者:
tian
時間:
2024-4-2 14:37
對啊～我不知該怎麼找到最小上界的方法
感謝老師提供用中間值定理的方法！
作者:
tsusy
時間:
2024-4-4 08:08
標題:
回覆 3# tian 的帖子
圖片的第 7 行、第 8 行，正負號(加減)有點奇怪，兩行的推理 (=>) 看起來都不正確
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