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標題: 113師大附中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2024-3-31 00:14 標題: 113師大附中

不知道會不會公布題目，拋磚引玉大家一起回憶一下。
P.S.第一次遇到學校把填充題弄成選填題來畫卡，有些朋友因為算出來的答案填不進格子而去檢查，救了很多題，感謝那些圈圈～

113.04.01
朋友幫忙打電話去學校反應，故學校公告試題了。

113.04.01
學校更新答案，第 O 題原本 11 改為 12 。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2024-4-1 19:10 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2024-3-31 03:25

一、選填題
G.
已知\(a,b\)為實數，試求\((3a-2b+1)^2+(2a+b-2)^2+(4a-5b-3)^2\)的最小值為　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

H.
已知空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}\)與兩點\(A(0,1,3)\)、\(B(1,3,-2)\)。若點\(P\)為直線\(L\)上一動點，則\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

P.
若方程組\(\cases{x(y+z-x)=39-2x^2 \cr y(x+z-y)=52-2y^2 \cr z(x+y-z)=78-2z^2}\)的正實數解為\(\cases{x=a\cr y=b\cr z=c}\)，則\(abc=\)　　　？
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2020&page=1#pid11798
[解答]
\(\cases{xy+xz+x^2=39\cr yx+yz+y^2=52 \cr zx+zy+z^2=78}\)
三式相加\(2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2=169\)，\((x+y+z)^2=(\pm13)^2\)，\(x+y+z=\pm13\)
(1)當\(x+y+z=+13\)時
\(\cases{x(13-x)=39-x^2 \cr y(13-y)=52-y^2 \cr z(13-z)=78-z^2}\)，\(\cases{x=3\cr y=4\cr z=6}\)，\(xyz=72\)
(2)當\(x+y+z=-13\)時
\(\cases{x(-13-x)=39-x^2 \cr y(-13-y)=52-y^2 \cr z(-13-z)=78-z^2}\)，\(\cases{x=-3\cr y=-4\cr z=-6}\)，\(xyz=-72\)

二、計算證明題
1.
已知\(a,b,c\)為正實數，且滿足\(abc=1\)，試證明\(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}\)。

Let \(a, b, c\) be positive real numbers such that \(abc = 1\). Prove that\(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}\).
(1995IMO，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2)

作者: peter0210 時間: 2024-3-31 10:58

第R題
所求=AP'線段-1-1/2=sqrt(26)-3/2

[ 本帖最後由 peter0210 於 2024-3-31 13:01 編輯 ]

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作者: farmer 時間: 2024-3-31 16:47 標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

A題目有沒有記錯呢?解出來的x都不合

作者: jim1130lc 時間: 2024-3-31 21:01

看起來沒有要公布題目，只有簡答而已。

113.3.31版主補充
將官方答案移到第一篇

作者: x14162003 時間: 2024-3-31 22:16 標題: 第D題

請問第D題怎麼作呢?切線方程式作出來很醜...然後就不知道怎麼繼續下去了

作者: Superconan 時間: 2024-3-31 23:34 標題: 回覆 4# farmer 的帖子

應該有錯吧，印象三根之和是2，裡面有一個負根是-1，所以答案是3

作者: x14162003 時間: 2024-3-31 23:49 標題: 回覆 3# peter0210 的帖子

請問為什麼所求是AP'線段呢?

作者: g112 時間: 2024-4-1 00:39

引用:

原帖由 x14162003 於 2024-3-31 22:16 發表
請問第D題怎麼作呢?切線方程式作出來很醜...然後就不知道怎麼繼續下去了

D是考古題
105全國聯招填充第10
不用算切線用正弦定理處理即可

作者: JJM 時間: 2024-4-1 12:56

想請教E如果用同色不相鄰的公式處理要怎麼算呢？

作者: thepiano 時間: 2024-4-1 15:11 標題: 回覆 10# JJM 的帖子

第 E 題
相當於扇形塗色
一個圓用半徑分割成 n (n ≥ 2) 個扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色
每一扇形塗一色，相鄰扇形皆異色，顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用
塗法數 a_n = (k - 1)^n + (-1)^n * (k - 1)

此題的 n = k = 6

作者: mean4136 時間: 2024-4-1 17:54 標題: 填充O. 答案更正為12

如題，剛發現答案更改為12

[ 本帖最後由 mean4136 於 2024-4-1 17:57 編輯 ]

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作者: yymath 時間: 2024-4-1 19:58

引用:

原帖由 JJM 於 2024-4-1 12:56 發表
想請教E如果用同色不相鄰的公式處理要怎麼算呢？

公式講解影片給你參考
影片上集
https://youtu.be/AVh4ZSws6Xk?si=pvtbOBnX_W6X68F0
下集
https://youtu.be/uqsj31bc1AY?si=f_4j-J88Q0s2bJw-

作者: JJM 時間: 2024-4-1 20:05 標題: 回覆 13# yymath 的帖子

謝謝老師！剛剛有看完了，講解的很詳細
不過我對師大附中這題的n是6還是7有所疑問

作者: thepiano 時間: 2024-4-1 20:33 標題: 回覆 14# JJM 的帖子

當 n = 7，用上述公式，第 7 次塗的顏色和第 1 次要相異
跟本題第 7 關和第 1 關是同一關，不合

作者: chu 時間: 2024-4-1 21:16 標題: 第H題

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作者: chu 時間: 2024-4-1 21:18 標題: 第I題

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作者: chu 時間: 2024-4-1 21:23 標題: 第L題

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作者: chu 時間: 2024-4-1 21:28 標題: 第N題

對啦! 偶就是朱式幸福的作者,幫大家動動腦,有空來逛逛 https://chu246.blogspot.com/

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作者: JJM 時間: 2024-4-1 21:49 標題: 回覆 15# thepiano 的帖子

老師不好意思，不過這個公式不就是在處理回到原本顏色的情形嗎？

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https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6920&k=5f8a82f061d37de5309e09132a44b995&t=1715886785

作者: thepiano 時間: 2024-4-2 00:00 標題: 回覆 20# JJM 的帖子

6 個關卡(k = 6)，從某 1 關先闖，共闖 7 關，即換關(移動) 6 次(n = 6) 後回到初始關
由於可從任一關先闖，故公式中的 1/k 要拿掉

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-2 00:01 編輯 ]

作者: g112 時間: 2024-4-2 10:19

想請問J 和 R 謝謝
-------------
打錯了是J和M 才對(R前面有了)

[ 本帖最後由 g112 於 2024-4-2 11:50 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2024-4-2 10:37 標題: 回覆 22# g112 的帖子

第 J 題
對邊長度兩兩相同的四面體(等腰四面體)，其六個兩面角的餘弦值之和 = 2
所求 = 2[2 - (-1/2)] = 5

作者: g112 時間: 2024-4-2 11:26

引用:

原帖由 thepiano 於 2024-4-2 10:37 發表
第 J 題
對邊長度兩兩相同的四面體(等腰四面體)，其六個兩面角的餘弦值之和 = 2
所求 = 2[2 - (-1/2)] = 5

謝謝鋼琴老師，另外想問這性質有相關文獻嗎
剛google了一下找不太到他的證明，謝謝

作者: 小超人Mo 時間: 2024-4-2 11:52 標題: 回覆 24# g112 的帖子

可以參考這篇「四面體的餘弦定理」，但是這篇所討論的正四面體更為廣義一些。 (運用當中的定理四可以處理這一題)
https://web.math.sinica.edu.tw/m ... cle18.jsp?mID=40106

[ 本帖最後由小超人Mo 於 2024-4-2 11:53 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2024-4-2 12:40 標題: 回覆 24# g112 的帖子

等腰四面體內接於一長方體，建立空間座標系

設六個兩面角分別是 α、α、β、β、γ、γ
利用兩平面的夾角 = 其法向量夾角的補角，可求出 cosα，而 cosβ 和 cosγ 同理
可證出 cosα + cosβ + cosγ = 1

作者: thepiano 時間: 2024-4-2 12:43 標題: 回覆 22# g112 的帖子

第 M 題
ω = t(-√3 + 4i) + (2 - 2t)i = -√3t + (2t + 2)i
在複數平面上，ω 的圖形是直線 2x + √3y = 2√3

z^8 = -1/2 + (√3/2)i 的 8 次方根 = cos[(3k + 1)π/12] + isin[(3k + 1)π/12]
在複數平面上，z 所形成的 8 個點在單位圓上

畫圖可知當 k = 1 時，z = 1/2 + (√3/2)i，點 z(1/2，√3/2) 到直線 2x + √3y = 2√3 有最小距離 (4√21 - 5√7)/14

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-2 12:45 編輯 ]

作者: g112 時間: 2024-4-2 17:15

好的謝謝兩位老師

作者: JJM 時間: 2024-4-2 23:47 標題: 回覆 21# thepiano 的帖子

懂了！謝謝鋼琴老師！

作者: Superman 時間: 2024-4-3 16:33

引用:

原帖由 yymath 於 2024-4-1 19:58 發表

公式講解影片給你參考
影片上集
https://youtu.be/AVh4ZSws6Xk?si=pvtbOBnX_W6X68F0
下集
https://youtu.be/uqsj31bc1AY?si=f_4j-J88Q0s2bJw-

請問https://chu246.blogspot.com/2022/07/1112.html，
111年台南女中第2次教甄的第15題，青蛙，可以用這題的公式修改嗎？
或是有沒有快方法？謝謝。

作者: std310185 時間: 2024-4-3 21:28

不好意思，想請教一下第K題

作者: Jimmy92888 時間: 2024-4-3 21:51 標題: 回覆 31# std310185 的帖子

當\(x\)夠小時，\((1+x)^n≈1+nx\)
\(\lim\limits_{x \to \infty}(\sqrt[5]{x^5+3x^4+4x^3+3x}-\sqrt[3]{x^3+3x^2+4x+1})\)
\(=\lim\limits_{x \to \infty}(\sqrt[5]{x^5+3x^4}-\sqrt[3]{x^3+3x^2})\)
\(=\lim\limits_{x \to \infty}(x\sqrt[5]{1+\frac{3}{x}}-x\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}})\)
\(=\lim\limits_{x \to \infty}(x(1+\frac{3}{5x})-x(1+\frac{3}{3x}))=-\frac{2}{5}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-4-4 05:50 編輯 ]

作者: std310185 時間: 2024-4-4 11:00 標題: 回覆 32# Jimmy92888 的帖子

原來如此，謝謝Jimmy老師

作者: ruee29 時間: 2024-4-5 10:51

試著整理手寫解答有一些算不出來參考了老師們的寫法才整理完成~
https://drive.google.com/file/d/ ... K/view?usp=drivesdk

作者: JJM 時間: 2024-4-6 11:45

想請教L有沒有不需要微分方程的作法？謝謝！

作者: peter0210 時間: 2024-4-6 18:04 標題: 回覆 35# JJM 的帖子

第L題
注意f(x)的次數

圖片附件: 20240406_180141_copy_377x600.jpg (2024-4-6 18:05, 55.55 KB) / 該附件被下載次數 79
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6928&k=3f0bd561762b8a28e791ef0bb8a70f57&t=1715886785

作者: JJM 時間: 2024-4-6 18:24 標題: 回覆 36# peter0210 的帖子

懂了謝謝老師！

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