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標題: 112台北市高中聯招 [打印本頁]

作者: BambooLotus 時間: 2023-4-15 18:38 標題: 112台北市高中聯招

主辦還真是偷懶

附件: 112台北市高中聯招題目.pdf (2024-10-25 11:50, 218.95 KB) / 該附件被下載次數 5012
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附件: 112台北市高中聯招答案.pdf (2024-10-25 11:50, 81.95 KB) / 該附件被下載次數 3464
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作者: Christina 時間: 2023-4-15 19:27 標題: 選擇第三題

請教老師們選擇第三題的答案是多少呢。考試時答案是寫C.
謝謝老師幫忙。

作者: satsuki931000 時間: 2023-4-15 22:24

填充題解答參考
還請各位不吝指教偵錯(最近計算錯誤超誇張，好險今年不用考試.....)

1. 17
2. 32 (感謝thepiano老師指正)
3.\(\displaystyle 10+\sqrt{26}\)
4.10
5.\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}\) (感謝Joy091老師的指正)
6.4012
7.\(\displaystyle \frac{36}{5}\)
8.\(\displaystyle 112\times 2^{111}\)(感謝thepiano老師指正)

作者: Joy091 時間: 2023-4-15 22:39 標題: 回覆 2# Christina 的帖子

用程式模擬，洗牌5次會逆序，洗牌10次則還原。
因此將 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 洗 2023 次的結果跟洗 3 次的結果一樣，
會變成 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3，也就是洗完牌之後，第10張牌是一開始的第3張牌，
選項中沒有正確答案，應送分。

R 程式碼：
wash=function(x){
y=rep(0,10)
for(i in 1:5)y[ i ]=x[2*i]
for(i in 6:10)y[ i ]=x[2*i-11]
return(y)
}
x=1:10
for(i in 1:2023)x=wash(x)
x

感謝 # cut6997 老師指正，我弄錯題意，
正確的模擬如下，公告的答案無誤。
(還是有洗牌5次逆序，洗牌10次還原的規律)

wash=function(x){
y=rep(0,10)
for(i in 1:5)y[2*i]=x[ i ]
for(i in 6:10)y[2*i-11]=x[ i ]
return(y)
}
x=1:10
for(i in 1:2023)x=wash(x)
x

圖片附件: 112北市聯招_單選3_洗牌模擬.jpg (2023-4-15 23:11, 37.7 KB) / 該附件被下載次數 1992
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作者: satsuki931000 時間: 2023-4-15 22:42

計算題:
1(1).\(\displaystyle M_t=(400\ cos(\frac{\pi t}{250})+cos(\frac{\pi t}{25}),400\ sin(\frac{\pi t}{250})+sin(\frac{\pi t}{25}))\) (感謝Joy091，acc10033老師指正)
1(2). \(\displaystyle \frac{500}{9}\)

2(1). \(\displaystyle (1+cos\theta \ sin\theta)x^2+(1-cos\theta \ sin\theta)y^2-cos2\theta \ xy =3\)

2(2). \(\displaystyle A=\frac{1}{2} \ B=\frac{1}{6}\)

3(1) .\( (a+2)b\)
3(2) . \(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}\)

4(1).可以理解成P點是在直線L上...嗎，如果是的話
直接架設數線就好，設P點坐標為x，其餘點分別為a,b,c,d
所求為|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，最小值發生在\(x\in [b,c]\)

作者: Joy091 時間: 2023-4-15 22:46 標題: 回覆 3# satsuki931000 的帖子

填充5
已知空間一四面體\(ABCD\)，其頂點坐標分別為\(A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,1)\)，則此四面體內切球球心的\(x\)坐標為　　　。(答案不一定要有理化分母)
[解答]
請參閱

圖片附件: 112北市聯招_填充5_四面體內切球心.jpg (2023-4-15 22:46, 188.8 KB) / 該附件被下載次數 1947
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作者: cut6997 時間: 2023-4-15 22:57 標題: 回覆 4# Joy091 的帖子

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
7 3 10 6 2 9 5 1 8 "4"
9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案是4應該沒錯

作者: satsuki931000 時間: 2023-4-15 23:22 標題: 回覆 6# Joy091 的帖子

謝謝您的指正
正三角形的邊長忘記是\(\sqrt{2}\)了

作者: Ellipse 時間: 2023-4-15 23:28

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2023-4-15 18:38 發表
主辦還真是偷懶

像這種不公布非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法

作者: thepiano 時間: 2023-4-16 07:41 標題: 回覆 3# satsuki931000 的帖子

填充
第 2 題答案應是 32
第 8 題答案應是 112 * 2^111

作者: acc10033 時間: 2023-4-16 08:47

計算一的Mt
要考慮到會繞著行星轉吧

作者: Joy091 時間: 2023-4-16 09:28

計算1
已知一平面上，行星\(E\)以圓形軌道逆時針繞行恆星\(S\)，行星\(E\)的衛星\(M\)以圓形軌道逆時針繞行行星\(E\)。阿宗觀察行星\(E\)繞行恆星\(S\)一圈需時500天，衛星\(M\)繞行行星\(E\)一圈需時50天，試回答下列問題：
(1)若阿宗將恆心\(S\)的位置定為坐標原點\((0,0)\)，對於阿宗而言第0天時行星\(E\)的坐標在\((400,0)\)，衛星\(M\)的坐標在\((401,0)\)。求第\(t\)天時，衛星\(M\)的坐標。
(2)承上題，若\(\angle SEM\)在第0天時第一次等於\(180^{\circ}\)，求下一次\(\angle SEM=180^{\circ}\)時是第幾天。
[解答]

圖片附件: 112北市聯招_計算1_月相問題.jpg (2023-4-16 09:28, 140.91 KB) / 該附件被下載次數 1048
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作者: kormin 時間: 2023-4-16 10:41 標題: 選擇2

選擇2
已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4
[解答]
答案如附件

圖片附件: [選擇2] 73ECE762-B92B-40BF-B6EF-09632BF171A5.png (2023-4-16 10:41, 144.88 KB) / 該附件被下載次數 828
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作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 13:47 標題: 貳、非選第3題

已知橢圓\(\Gamma\)的一頂點為\((0,3)\)，\(F_1(-4,0)\)、\(F_2(4,0)\)為其焦點，若點\(A(1,1)\)，\(P\)為\(\Gamma\)上的動點，則\(\overline{PA}+\overline{PF_2}\)的最大值為　　　。
[解答]
設\(R\)為直線\(F_1A\)在第三象限與橢圓的交點，
則\(PF_2+PA\leq PF_2+PF_1+AF_1=RF_2+RF_1+AF_1\)，
所以當\(P=R\)時有最大值\(10+AF_1=10+\sqrt{26}\)

註：若改成第一象限的交點，就變最小值。

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 13:59 標題: 貳、非選第6題

設\(n\)為正整數，定義\(n\)的各位數的數字和為\(f(n)\)，例如：\(f(2023)=2+0+2+3=7\)，\(f(135)=1+3+5=9\)，則滿足\(f(n)+n=2023\)的所有正整數\(n\)的和為　　　。
[解答]
因為\(f(n)+n=2023\)，所以\(n<2023\)，
此範圍內\(f(n)\)最大是\(n=1999\)時，所以\(f(n)\leq f(1999)=28\)，
於是\(n\geq 1995\)，接下來只要測試\(n=1995\)到\(2022\)這個範圍的數即可。

\(2000\)到\(2009\)與\(2020\)到\(2022\)為偶數，不可能。
\(1995\)到\(1999\)這段遞增，可知\(1997\)是一解。
\(2010\)到\(2019\)這段遞增，可知\(2015\)是一解。

所以所有解為\(1997+2015=4012\)

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 14:02 標題: 貳、非選第8題

\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。
例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。
若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為　　　。
[解答]
所有不包含\(112\)的集合\(X\)，其\(f(X)+f(X∪\{112\})=112\)。
所以只要計算\(112\)出現幾次即可，因此總和為\(112×2^{111}\)。

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 14:09 標題: 壹、單選第2

已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4
[解答]
亦即求兩圖形\(y=\frac1x\)與\(y=2\sin(\pi x)\)的交點數。
易知在\(x\in(2,3)\)時有兩解，與\(x=\frac12\)時有一解。
又因為\(x=\frac12\)時\(y=\frac1x\)凹向上，\(y=2\sin(\pi x)\)凹向下，所以\(x\in(\frac12,1)\)還會有一解。
共四個解。

註：13樓有畫\(y=\sin(\pi x)\)與\(y=\frac1{2x}\)示意圖。

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 14:21 標題: 壹、單選第3

一疊撲克牌共10張，某種洗牌方式如下：洗完一次後，原第6張會變第1張，原第1張變第2張，原第7張變第3張，原第2張變第4張，…依此類推；換句話說，就是原來的第1到10張，會依序移到第\(2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9\)張。若用此種洗牌方式連續洗了2023次後，則第10張牌會是一開始的第幾張牌？
(A)第1張　(B)第4張　(C)第6張　(D)第9張
[解答]
每次的洗牌，就是一個排列的函數，依題意
\(\phi=\left(\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&A \\
2&4&6&8&A&1&3&5&7&9
\end{array}\right)=(12485A9736)\)
此為10-cycle，所以10次一循環。
\(\phi^{2023}(x)=10=\phi^3(x)\)所以\(x=4\)(就\(A\)往前數\(3\)個)

我覺得這題很不錯，基本的代數群論，改成易懂的情境。

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 14:33

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-15 23:28 發表
像這種不公布非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法

不知為什麼主辦不公布答案，
據我所知，出題教授都會給答案。

作者: thepiano 時間: 2023-4-16 14:47

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-15 23:28 發表

像這種不公布非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法

去年臺北市聯招還有公布填充題答案和計算題簡答，今年直接省略
報名費收那麼多，結果數學科有的題目國中生就會做，有些抄得很高興
跟全國聯招比起來，還有很大的進步空間
那些市立前幾志願高中被加入聯招應該很不願意

作者: Ellipse 時間: 2023-4-16 15:23

引用:

原帖由 thepiano 於 2023-4-16 14:47 發表

去年臺北市聯招還有公布填充題答案和計算題簡答，今年直接省略
報名費收那麼多，結果數學科有的題目國中生就會做，有些抄得很高興
跟全國聯招比起來，還有很大的進步空間
那些市立前幾志願高中被加入聯招應該很不願意 ...

"臺北市聯招"去看看今年"台南女中"不僅填充題給答案,計算題還附詳解
聯招需要很慎重, 不懂為什麼要搞成那麼難看

剛查了一下去年臺北市聯招公布答案的資料,一開始也是只給填充題答案
後來被抗議? 才補上非選擇題答案
那既然都發生過,為什麼還要重蹈覆轍?

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-16 16:09

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-16 15:23 發表
剛查了一下去年臺北市聯招公布答案的資料,一開始也是只給填充題答案
後來被抗議? 才補上非選擇題答案
那既然都發生過,為什麼還要重蹈覆轍?

去年跟今年是同一個學校辦的嗎？

作者: Ellipse 時間: 2023-4-16 16:26

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-16 16:09 發表

去年跟今年是同一個學校辦的嗎？

應該不是，但這種都要列入重要缺失
寫進檢討報告裡面，交接給下一個主辦學校
避免日後再犯

作者: Joy091 時間: 2023-4-16 22:16

小弟今年有命題，向大家報告一些事實供參考。
首先是時間，3/25接到邀請，4/10交件，差不多是在為期16天中找出時間與力氣，命16道題。(另有2位命題者)
再來是使命感，絕對是此生最高。這些天裡是有電腦用電腦，沒電腦就用手機記下靈感與編修，5天連假也是。
目標很簡單，要題題精彩。
因為組卷只會留下1/3我出的題目，如果選到一些改編題，那新創題可說是辛苦付諸流水了!
盡了全力，4/10交出 "新創13題+3題延伸改編"，每一題除了詳解，還有程式(GGB 或 R)檢驗，更將設計理念也寫了出來。
4/15看到共選用了5題，其中新創3題：單選4_打桌球、填充1_三角測量、計算1_月相。延伸改編2題：填充5_內切球心、計算3_等腰梯形的最大面積。
也就是有10題新創題未被採用，
像是世界咖啡館、計算自然常數的意外結果、噴水圖形建模、魔術師的機率題、RSA加密與不定方程等等。
分享兩題(不受青睞)如下圖。
最後談一下出題費用，其實與代課1整天差不多，大家懂。
這就是實情。我想以我的能力交出這樣的作業，起碼對得起良心。
還有不足、缺漏的地方，感謝各位老師們繼續提出囉~

圖片附件: 112北市聯招_不受青睞_世界咖啡館排列組合問題.jpg (2023-4-16 22:16, 157.92 KB) / 該附件被下載次數 1213
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6597&k=0694576595fe2b74eda4b8fca89ca849&t=1730423086

圖片附件: 112北市聯招_不受青睞_自然常數計算問題.jpg (2023-4-16 22:16, 191.37 KB) / 該附件被下載次數 1100
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6598&k=8ef56ac705555ec531a8c4a7d99b1e89&t=1730423086

作者: thepiano 時間: 2023-4-16 22:55 標題: 回覆 24# Joy091 的帖子

如果三個出題者都拿一樣的幾千塊，那主辦單位真的太扯，至少要給個兩、三萬
我猜挑題的拿得比較多 ......

作者: Ellipse 時間: 2023-4-17 00:02

引用:

原帖由 thepiano 於 2023-4-16 22:55 發表
如果三個出題者都拿一樣的幾千塊，那主辦單位真的太扯，至少要給個兩、三萬
我猜挑題的拿得比較多 ......

Joy091老師說出了十幾天,是全部只算一整天的代課費?
還是一整天代課費* 出題天數?

作者: Joy091 時間: 2023-4-17 05:18 標題: 回覆 26# Ellipse 的帖子

是前者。
臺北市112學年度市立高級中等學校教師聯合甄選試務費用(初試-命題)
大約就是 420×7 (1人)

但如果是教授，或是像演講分內外聘，費用就不知道了

作者: BambooLotus 時間: 2023-4-17 07:56 標題: 回覆 27# Joy091 的帖子

光是不受青睞這兩題的價值就不只420×7了
咖啡館這題題目很棒，而且誘答率一定非常高

作者: CYC 時間: 2023-4-17 15:47

請問填充7與計算4(2)

作者: thepiano 時間: 2023-4-17 16:01 標題: 回覆 29# CYC 的帖子

填充第 7 題
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{BC}=4\)，\(\overline{CA}=5\)，已知點\(P\)在\(\Delta ABC\)內，且\(P\)至\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)之距離分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)，則\(3x^2+y^2+2yz+2z^2\)的最小值為　　　。
[解答]
抄自 100 永春高中代理
[3x^2 + (y + z)^2 + z^2][(√3)^2 + 4^2 + 1^2] ≧ (3x + 4y + 5z)^2

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-17 16:05

引用:

原帖由 Joy091 於 2023-4-16 09:28 發表
計算1

想要問大家，在考場上，計算1的(2)，答案會寫多少？

因為第t天、第0天、第幾天，這個說法，會讓我想認定答案只能寫整數，
所以我是寫500而非\(\displaystyle \frac{500}{9}\)

不過我沒考這場就是了

===
啊，500天，就跟題目給的行星週期一樣了，這樣好像沒意義了。
好吧，只是覺得寫第\(k\)天，真的會讓人預設答案是整數。

作者: CYC 時間: 2023-4-17 17:11 標題: 回覆 30# thepiano 的帖子

感謝老師

作者: thepiano 時間: 2023-4-17 17:16 標題: 回覆 29# CYC 的帖子

計算第 4 (2) 題
平面上一直線\(L\)，\(L\)上依序有\(A,B,C,D\)相異四點，亦即\(B\)在\(\overline{AC}\)之間，\(C\)在\(\overline{BD}\)之間，動點\(P\)在平面上，試回答下列問題：
(1)求\(P\)點位置在哪裡時，使得\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD}\)的值最小。
(2)若\(P\)點不在直線\(L\)上，且\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，試證\(\overline{PA}+\overline{PD}>\overline{PB}+\overline{PC}\)。
[解答]
平移 △PAB 讓 AB 和 CD 重合
再利用三角形兩邊和大於第三邊即可證出

作者: CYC 時間: 2023-4-17 20:31 標題: 回覆 33# thepiano 的帖子

老師不好意思，我平移之後還是沒有想法
不知道有沒有移錯

圖片附件: geogebra-export (1).png (2023-4-17 20:33, 199.27 KB) / 該附件被下載次數 1054
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6602&k=e5575aa851d9ab05a697e07243a8b970&t=1730423086

作者: lozf1024 時間: 2023-4-17 21:58 標題: 整數天

引用:

原帖由 5pn3gp6 於 2023-4-17 16:05 發表

想要問大家，在考場上，計算1的(2)，答案會寫多少？

因為第t天、第0天、第幾天，這個說法，會讓我想認定答案只能寫整數，
所以我是寫500而非\(\frac{500}{9}\)

不過我沒考這場就是了

===
啊，500天，就跟題目給的行星週期一樣了，這 ...

所以，
\(\displaystyle \frac{500}{9}\)是55天多，無條件進位成56天。

作者: thepiano 時間: 2023-4-17 22:02 標題: 回覆 34# CYC 的帖子

平面上一直線\(L\)，\(L\)上依序有\(A,B,C,D\)相異四點，亦即\(B\)在\(\overline{AC}\)之間，\(C\)在\(\overline{BD}\)之間，動點\(P\)在平面上，試回答下列問題：
(1)求\(P\)點位置在哪裡時，使得\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD}\)的值最小。
(2)若\(P\)點不在直線\(L\)上，且\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，試證\(\overline{PA}+\overline{PD}>\overline{PB}+\overline{PC}\)。
[解答]
設 P 平移到 P'， P'C 和 PD 交於 O
OP + OC > PC
OP' + OD > P'D
兩式相加
OP' + OC + OP + OD > P'D + PC
P'C + PD > P'D + PC
PA + PD > PB + PC

作者: CYC 時間: 2023-4-17 23:29 標題: 回覆 36# thepiano 的帖子

謝謝老師

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-18 16:13

引用:

原帖由 Joy091 於 2023-4-17 05:18 發表
是前者。
臺北市112學年度市立高級中等學校教師聯合甄選試務費用(初試-命題)
大約就是 420×7 (1人)

但如果是教授，或是像演講分內外聘，費用就不知道了 ...

Joy091有入圍嗎？
我認識另一位出題老師，他出一整份，4題選擇+8題填充+4題證明共16題，只有3000。
少的可憐，而且台北是要求最多的，每一題都還要做試題分析，易、中、難之類的。

這個價錢，光用抄的，然後打詳解，工錢就超過了。
教授去演講一次也有3200，如果講的主題一樣，還可以不用準備。

結果，主辦還只公布選擇題答案…

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-18 16:24 標題: 參、計算4

引用:

原帖由 CYC 於 2023-4-17 15:47 發表
請問填充7與計算4(2)

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https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6605&k=efd9178b87cfbbaeadbabdd5bcf97f3d&t=1730423086

作者: Joy091 時間: 2023-4-18 17:19

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-18 16:13 發表

Joy091有入圍嗎？
我認識另一位出題老師，他出一整份，4題選擇+8題填充+4題證明共16題，只有3000。
少的可憐，而且台北是要求最多的，每一題都還要做試題分析，易、中、難之類的。

這個價錢，光用抄的，然後打詳解，工錢就超過了。
教 ...

我沒有入圍。
在此聲明一下，談這個出題費，真不是我的原意，
我認為命16題拿3000元就像公務員薪水一樣，
發多少，可以說多少，沒理由不能講。

曝光我的身份，則是不得已，
因為看到大家的評論，似乎是份爛題目，
才乾脆揭露一些我知道的事，
希望幫大家看清更多事情。

我喜歡創題，我還在創題。
謝謝給予指正還有肯定的老師們！
謝謝這個論壇。

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-18 18:50

引用:

原帖由 Joy091 於 2023-4-18 17:19 發表
因為看到大家的評論，似乎是份爛題目，
才乾脆揭露一些我知道的事.

其實這份題目很不錯，大家是只在抱怨主辦不公布答案而已。

然後聊開了，就東扯一點西扯一點。

作者: Ellipse 時間: 2023-4-19 14:41

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-18 18:50 發表

其實這份題目很不錯，大家是只在抱怨主辦不公布答案而已。

然後聊開了，就東扯一點西扯一點。

比較好奇的是每年 DavidGuo教授,都大概這時候出現
然後會特別關心某一個聯招的考題

作者: ingibitor0606 時間: 2023-4-19 14:47

想請教計算2，謝謝

作者: thepiano 時間: 2023-4-19 15:23 標題: 回覆 43# ingibitor0606 的帖子

計算第 2 題
設圖形\(\Gamma\)的方程式為\(x^2-xy+y^2=3\)，將\(\Gamma\)上的每一點繞原點逆時針旋轉\(\theta\)，所形成的新圖形為\(\Gamma'\)(其中\(0^{\circ}<\theta<90^{\circ}\))，試回答下列問題：
(1)求圖形\(\Gamma'\)的方程式。
(2)若圖形\(\Gamma'\)的方程式為\(Ax^2+By^2=1\)，其中\(A,B\)為常數，求\(A,B\)的值。
[解答]
(1)
設 (x，y) 旋轉到 (x'，y')
x' = xcosθ - ysinθ
y' = xsinθ + ycosθ

x = x'cosθ + y'sinθ
y = -x'sinθ + y'cosθ
代入 x^2 - xy + y^2 = 3
可得答案

(2)
讓 (1) 答案中 xy 項係數為 0
即 (sinθ)^2 - (cosθ)^2 = 0
由於 θ 是第一象限角，故 θ = 45度，再代入 (1) 的答案

作者: ingibitor0606 時間: 2023-4-19 15:55 標題: 回覆 44# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-20 14:27

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-19 14:41 發表
比較好奇的是每年 DavidGuo教授,都大概這時候出現
然後會特別關心某一個聯招的考題

這時出現，是因為…教甄都這時候…
然後認識的好友，常常會討論這些題目，其中不乏有出過題目的老師，
也有以前在補習班幫解題，現在當教授的…
也有我們系畢業的學生，有些在補教業，有些在學校教書，也常常會一起討論題目。
然後…不會做的時候，就上來這裡找答案…

作者: Joy091 時間: 2023-4-20 15:33 標題: 回覆 43# ingibitor0606 的帖子

有幾個檔案可以參考 : )

附件: 圓錐曲線的轉軸移軸不變量.pdf (2023-4-20 15:33, 159.95 KB) / 該附件被下載次數 2820
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6607&k=883d82804a417b3eafd4341fcc56bf94&t=1730423086

附件: 圓錐曲線的判定.pdf (2023-4-20 15:33, 417.33 KB) / 該附件被下載次數 3177
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6608&k=4bdce000cf5d0b2054705ad33abcf53a&t=1730423086

附件: 圓錐曲線的故事.pdf (2023-4-20 15:33, 951.68 KB) / 該附件被下載次數 2817
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6609&k=b5970328a3097e9cbffe43ef12f85647&t=1730423086

作者: Ellipse 時間: 2023-4-20 15:57

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-20 14:27 發表

這時出現，是因為…教甄都這時候…
然後認識的好友，常常會討論這些題目，其中不乏有出過題目的老師，
也有以前在補習班幫解題，現在當教授的…
也有我們系畢業的學生，有些在補教業，有些在學校教書，也常常會一起討論題目。
然後 ...

教甄題目就是廣,但難度還是覺得念博士班的書比較艱澀
有經歷過碩／博班書報討論訓練，就會覺得教甄題真的是小巫見大巫
如果要考高中的老師，建議還是先去唸個碩士，感覺等級有提升
才能Handle這些題目.當然教授在處理這些題目的等級又會比我們這些高中老師更高了

另還有一個重點提醒考教甄的老師們,就是不要只想上來找答案, 然後照單全收
應該要消化成自己的想法,或是嘗試去思考有沒有另外的解法
多去思考一題多解,會提升解題能力
雖然現在在公立學校不用考了,但我仍會定期去思考數學題目,避免自己能力退化, 共勉之~

作者: bugmens 時間: 2023-4-24 23:04

非選擇題
4.
已知\(\vec{a}=(6,8)\)，\(\vec{b}=(\sqrt{1-sin\theta},\sqrt{sin\theta})\)，其中\(0\le \theta \le \pi\)，則\(\vec{a}\cdot \vec{b}\)的最大值為　　　。

設\(\vec{a}=(4,3)\)，\(\vec{b}=(\sqrt{x-1},\sqrt{5-x})\)為兩平面向量(其中\(x\)為變數)，則兩向量內積\(\vec{a}\cdot \vec{b}\)的最大值與最小值的差為？
(98台灣師大大學甄選入學指定項目甄試試題)

8.
\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。
例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為　　　。
[公式]
\(n\cdot 2^{n-1}=112\cdot 2^{111}\)
(交錯和，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317)

計算題
3.
某人用長度分別為1,2,1的長直竹竿，在筆直的河岸旁圍成一個等腰梯形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=1\)，\(\overline{BC}=2\)，\(\overline{BC}\)與\(\overline{AD}\)平行，\(\overline{BC}\le \overline{AD}\)，\(H\)為\(\overline{AD}\)上一點，且\(\overline{BH}⊥\overline{AD}\)，令\(\overline{AH}=a\)，\(\overline{BH}=b\)，試回答下列問題：
(1)以\(a,b\)表示等腰梯形\(ABCD\)的面積。
(2)當等腰梯形\(ABCD\)有最大面積時，求此時的\(a\)值。
我的教甄準備之路　用算幾不等式解三角函數的極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077

作者: Superman 時間: 2023-4-28 15:49

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-16 14:21 發表
每次的洗牌，就是一個排列的函數，依題意
\(\phi=\left(\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&A \\
2&4&6&8&A&1&3&5&7&9
\end{array}\right)=(12485A9736)\)
此為10-cycle，所以10次一循環。
\(\phi^{2023}(x)=10= ...

請問一下這一題的題意，
第幾張，到底是位置上的第幾，還是根據牌中的號碼來看待第幾？
假設將號碼1,2,3,4,5,6,7,8,9,A的牌，一開始分別放在第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10個位置，
每一次的洗牌，說的原本，到底是最初位置上的第幾，還是當前牌中的號碼來看待第幾？

雖然最後好像可以證明每一種解讀，結果是一樣的，
但考試的時候，真的有這麼多時間考慮嗎？

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