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標題: 111武陵高中 [打印本頁]

作者: q1214951 時間: 2022-4-18 16:30 標題: 111武陵高中

武陵高中原本沒有提供題目答案，
後來有另外再補題目答案，
大概是有考生打電話去要求吧~~

附件: 市立武陵高中111上學期第1次正式教甄初試--數學科填充題.pdf (2022-4-18 16:30, 314.33 KB) / 該附件被下載次數 6616
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6264&k=5234c2e66c748dd0f324e486a17118b9&t=1730419781

附件: 111上第1次正式教甄數學科填充題答案.pdf (2022-4-18 16:30, 234.35 KB) / 該附件被下載次數 5639
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6265&k=0604d0ada70a901f3da20547e93f7065&t=1730419781

作者: bugmens 時間: 2022-4-18 18:56

3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有　　　種。

有多少種\(n\)個數字\(d_n d_{n-1}\ldots d_1,d_i=0,1,\ldots,9,i=1,2,\ldots,n\)的排列，包含偶數個0的排列？(Ex.00030為5個數字的排列，有4個0)
(96中山大學雙週一題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/2Q.pdf)
https://math.pro/db/thread-408-1-1.html
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((9-1)^n+(9+1)^n)=\frac{1}{2}(8^n+10^n)\)

求0, 1, 2, 3所組成的n-序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008f/3Q.pdf)
https://math.pro/db/thread-626-1-1.html
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((3-1)^n+(3+1)^n)=\frac{1}{2}(2^n+4^n)\)

5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)　　　。
[提示]
公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{502}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}=\frac{1}{2}(502-2)=250\)

6.
有一個大正立方體由27個單位正立方體堆疊組成，今有一平面垂直平分大正立方體之內部對角線\(\overline{AG}\)，則該平面會與　　　個單位正立方體相交。
(1995AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_30)
中文題目下載，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2433

作者: sliver 時間: 2022-4-18 20:50

3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有　　　種。
[解答]

5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)　　　。
[解答]

作者: r91 時間: 2022-4-20 09:15

請問一下填充第2題

作者: Ellipse 時間: 2022-4-20 09:38

引用:

原帖由 r91 於 2022-4-20 09:15 發表
請問一下填充第2題

2.
\(a,b,c,x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,x,y,z\)皆為實數，且\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_1&y_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_1&z_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_1&x_1}\Bigg\vert\;\right)=(1,2,3)\)，\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_2&y_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_2&z_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_2&x_2}\Bigg\vert\;\right)=(4,5,6)\)若\(x,y,z\)滿足\(ax+by+cz=0\)，求\(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z\)之最小值　　　。
[解答]
向量(2,3,1)與向量(a,b,c)垂直
向量(5,6,4)與向量(a,b,c)垂直
解出a:b:c=2: (-1): (-1)
等價改成滿足2x-y-z=0,求(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²-14的最小值
即{｜2+2-3 | /√(2²+1²+1²) }² -14=1/6-14 = - 83/6

作者: ChuCH 時間: 2022-4-20 09:51

請教1.4.9.10，謝謝各位老師

作者: BambooLotus 時間: 2022-4-20 10:30

填充10.
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：　　　(以區間記號表達)。
[解答]
101建國中學二招
https://math.pro/db/thread-1457-1-3.html

由第一式得\(3a+b\ge5c,a+b\le4c\)，第二式得\(c(\ln b-\ln c)\ge a\)
令\(x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\)，\(3x+y\ge5,x+y\le4\)，\(\ln y\ge x\)，\(y\ge e^x\)
所求即\((0,0),(x,y)\)的斜率範圍，令\(y=e^x\)上過原點的切線方程式為\(y-y_0=e^{x_0}(x-x_0)\)
代入\((0,0)\)解得\(y_0=e^{x_0}x_0\)，\(e^{x_0}=e^{x_0}x_0\)，\(x_0=1\)，故\(m=e\)
畫圖即可得所求為\(e\le\frac{b}{a}\le7\)

作者: thepiano 時間: 2022-4-20 11:38 標題: 回復 6# ChuCH 的帖子

第 4 題
甲乙兩人比賽桌球，約定比賽進行到有一人比另一人多贏2局，或者打滿6局時比賽結束。設甲在每局中獲勝的機率均為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負互不影響。則比賽結束時，已賽局數\(X\)的期望值\(E(X)=\)　　　。
[解答]
有一人比另一人多贏 2 局，表示比賽結束時，只可能比了 2 或 4 或 6 局

(1) 比 2 局結束
機率 = (3/4)^2 + (1/4)^2 = 10/16

(2) 比 4 局結束
前 4 局贏的順序如下
甲乙甲甲
甲乙乙乙
乙甲甲甲
乙甲乙乙
機率 = (3/4)^3 * (1/4) * 2 + (1/4)^3 * (3/4) * 2 = 60/256

(3) 比 6 局結束
前 4 局贏的順序如下，這些情況都要比到六場
甲乙甲乙
甲乙乙甲
乙甲甲乙
乙甲乙甲
機率 = (3/4)^2 * (1/4)^2 * 4 = 36/256

所求 = (10/16) * 2 + (60/256) * 4 + (36/256) * 6 = 97/32

作者: thepiano 時間: 2022-4-20 11:51 標題: 回復 6# ChuCH 的帖子

第 10 題
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：　　　(以區間記號表達)。
[解答]
十年前寫過，......

附件: 20120705_2.pdf (2022-4-20 11:51, 202.27 KB) / 該附件被下載次數 5891
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6276&k=cf9ba4f53962660d747353f9649a5bed&t=1730419781

作者: sliver 時間: 2022-4-21 09:04

9.
將方程式\(y^4-2xy^2+2x^2-4=0\)圖形所圍成的封閉區域繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體體積為　　　。
[解答]
中間圖形是用geogebra畫的
知道曲線誰在誰上方就可以畫出大概的圖了

作者: johncai 時間: 2022-4-21 10:32

提供計算題第1和第3題參考
看有沒有人可以補充第2題

圖片附件: 計算題第1題.jpg (2022-4-21 10:32, 17.57 KB) / 該附件被下載次數 1561
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6282&k=ff84f5e9f3d8e5a7e39bf1dc6d1ce954&t=1730419781

圖片附件: 計算題第3題.jpg (2022-4-21 10:32, 11.33 KB) / 該附件被下載次數 1615
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6283&k=c662ecf18e5d17dadfbc07ffd4963e81&t=1730419781

作者: thepiano 時間: 2022-4-21 10:33 標題: 回復 6# ChuCH 的帖子

第 1 題
把 y = |x^2/2 - 1| 的圖形畫出來
若圓 x^2 + (y - a)^2 = r^2 要與它恰交於 3 三點
則其中一點必是 (0，1)
代入可得 (1 - a)^2 = r^2
x^2 = (1 - a)^2 - (y - a)^2

y = x^2/2 -1
x^2 = 2y + 2

y 的方程式 (1 - a)^2 - (y - a)^2 = 2y + 2 恰有一解
利用判別式，可得 a = 4

作者: peter0210 時間: 2022-4-24 16:23

填充6
有一個大正立方體由27個單位正立方體堆疊組成，今有一平面垂直平分大正立方體之內部對角線\(\overline{AG}\)，則該平面會與　　　個單位正立方體相交。
[解答]

圖片附件: 1.png (2022-4-24 16:23, 33.6 KB) / 該附件被下載次數 1656
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6314&k=77301ab1af95e1890393dd2b129692f6&t=1730419781

作者: 5pn3gp6 時間: 2022-4-25 09:26

引用:

原帖由 johncai 於 2022-4-21 10:32 發表
提供計算題第1和第3題參考
看有沒有人可以補充第2題

有聽朋友說計算第二題很像110南女的計算題
不知道是否有老師可以補上武陵計算二的細節，謝謝。

附圖為110南女的計算題

圖片附件: 擷取.PNG (2022-4-25 09:26, 157.34 KB) / 該附件被下載次數 1569
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6316&k=e221fb476a06e60917f3c29500009cd0&t=1730419781

作者: three0124 時間: 2022-4-26 11:36 標題: 回復 11# johncai 的帖子

請教老師
計算題第一題我算最小值為-73
不知是否正確
謝謝

作者: thepiano 時間: 2022-4-26 13:25 標題: 回復 15# three0124 的帖子

偏微做出來也是這個答案

作者: Superconan 時間: 2022-4-29 01:27

感謝前面老師分享計算題

因為武陵提供的填充題排版有點跑掉，第 9 題應該在第三頁最上方
有強迫症的我，重打一份，且後面加上老師們提供的計算題，
並盡量還原成初試當下的排版(B4一張兩頁)，供各位老師參考

計算第 2 題的圖花了我許多時間，所以第 6 題和第 7 題的圖就直接截圖，暫且不重畫了
如果打字有誤，或老師們有計算題更完整的敘述，可以再跟我說

備註：可能有老師想要印成 A4 練習，因此一併提供 A4 版本給老師們參考

附件: 111武陵高中試題(計算證明題是記憶版)(初試當下排版).pdf (2022-4-29 01:27, 272.89 KB) / 該附件被下載次數 2746
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6339&k=cf2302633ba8e9dd3d3b9e40c437d6eb&t=1730419781

附件: 111武陵高中試題(計算證明題是記憶版)(A4版本).pdf (2022-4-29 01:27, 300.92 KB) / 該附件被下載次數 2789
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作者: PDEMAN 時間: 2022-4-29 15:49

計算一
設\(x,y \in R\)，試求\(24x^4+y^2-8x^2y-40x^2-2y\)的最小值。
[解答]

圖片附件: 13AAEA06-3052-447F-B37D-DA2C5C46B440.jpeg (2022-4-29 15:49, 366.08 KB) / 該附件被下載次數 1577
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6341&k=837faa603fa7bd4cc9fdce4bb80ad4e4&t=1730419781

作者: Chen 時間: 2022-5-19 10:16

請問填充7

作者: Lopez 時間: 2022-5-19 12:53 標題: 回覆 19# Chen 的帖子

填充7
\(\vec{u}\)與\(\vec{v}\)的夾角為\(\theta\)，\(\vec{u}\)與\(\vec{w}\)的夾角為\(\alpha\)，且\(|\;\vec{u}|\;=|\;\vec{v}|\;=|\;\vec{w}|\;\)，
若\(\vec{w}=f(\theta,\alpha)\vec{u}+g(\theta,\alpha)\vec{v}\)，試求\(f(\theta,\alpha)+g(\theta,\alpha)=\)　　　。
[解答]

作者: Chen 時間: 2022-5-20 23:24 標題: 回覆 20# Lopez 的帖子

謝謝！

作者: satsuki931000 時間: 2022-5-23 20:57

今天練習了一下這份
以下提供計算1 3 的想法

計算1: 小弟是用配方法，這種手法在日本大學考題其實不算少見，\(x,y \in \mathbb{R}\)是最簡單的情形

\(\displaystyle f(x,y)=24[x^2-\frac{1}{6}(5+y)]^2+(\frac{1}{3}y^2-\frac{26}{3}y-\frac{50}{3})\)
因為\(\displaystyle \frac{1}{3}y^2-\frac{26}{3}y-\frac{50}{3} \leq-73 \)，等式成立在\(y=13\)的時候
此時取\(\displaystyle x^2=3\)即可讓整個\(\displaystyle f(x,y)\leq -73\)

計算3. 應該是計算題最和藹的一題

易求得\(\displaystyle S_1=a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{6}\)

由根與係數可知\(\displaystyle x^2-a_nx-a_n=0\)有兩實根 \(S_n-1,1-S_{n-1}\)
所以\(\displaystyle a_n=(S_n-1)(S_{n-1}-1) \rightarrow 2S_n=S_nS_{n-1}+1\)

接下來就是解遞迴了。用數學歸納法其實容易知道\(\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}\)
也就是\(\displaystyle a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)

作者: Superconan 時間: 2022-7-23 14:15

請問一下，計算第 2 題的答案是 f(x) = 3 sin(x/4) 嗎？

作者: thepiano 時間: 2022-7-23 20:45 標題: 回覆 23# Superconan 的帖子

對

作者: Superconan 時間: 2022-7-24 15:35 標題: 回覆 24# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師～

作者: anyway13 時間: 2022-9-18 11:18 標題: 請問計算2

版上老師好

請問計算第二題 f(x)=3sin(x/4) 是怎麼想出來的阿

作者: BambooLotus 時間: 2022-9-18 11:38

先把截痕移到頂點碰到底圓比較好想像

先解決底圓參數\((4\cos\theta,4\sin\theta,0)\)
利用長軸是10，底圓直徑是8，可以令原本截痕落在平面方程式\(3y=4z\)上(想像y在右邊z在上面，x在前面)
這樣可以得到截痕參數\((4\cos\theta,4\sin\theta,3\sin\theta)\)

然後想像把底圓展開之後，這時候底圓的弧會變成新的\(x\)座標，所以\(x=r\theta=4\theta\)
原本的\(z\)座標就是新的\(y=3\sin\theta\)座標，這樣就知道\(\displaystyle f(x)=3\sin\frac{x}{4}\)

作者: anyway13 時間: 2022-9-18 18:16 標題: 回復 27# BambooLotus的帖子

謝謝老師歐我努力研究一下

作者: jerryborg123 時間: 2024-2-22 11:44 標題: 請教第八題

請教第八題

作者: Vincent 時間: 2024-2-22 16:17 標題: 回覆 29# jerryborg123 的帖子

8.
拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2-2x+2\)與\(\Gamma_2\)：\(y=-x^2+ax+b\)，其中一個交點在兩拋物線所作的切線互相垂直，且\(a,b>0\)。求\(ab\)的最大值：　　　。
[解答]

圖片附件: 111.png (2024-2-22 16:21, 117.77 KB) / 該附件被下載次數 534
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6873&k=446ed4fa207b828874c36efe4bc09297&t=1730419781

作者: jerryborg123 時間: 2024-2-23 14:21 標題: 回覆 30# Vincent 的帖子

謝謝回覆，不過仍有不懂之處再請教：
比較係數成比例，代表兩個二次式的兩個解均相同，也就是說兩個交點對兩拋物線所作切線都互相垂直。
但題目敘述是"其中一個"，如何在列式時知道兩個交點都會成立？

作者: Vincent 時間: 2024-2-23 23:01 標題: 回覆 31# jerryborg123 的帖子

用"比較係數"一詞表達的不太好抱歉，我稍微修改了一下寫法，希望有解決您的問題

圖片附件: a.png (2024-2-23 23:01, 111.63 KB) / 該附件被下載次數 681
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6874&k=351f3ff1d6452f8b3d604790f1fe4d6c&t=1730419781

作者: Superman 時間: 2024-2-27 11:15

個人覺得這題嚴格來說要討論最大值能不能達到。
https://www.youtube.com/watch?v=XzPB9gwCtq4
另外也可以順便證明 jerryborg123 提出的「（只要一個交點滿足題意，）兩個交點都會成立」

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