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標題: 110高雄女中 [打印本頁]

作者: Almighty 時間: 2021-4-17 13:14 標題: 110高雄女中

先給關鍵字
1. 行列式             2. 不等式          3. 投影矩陣    4. 極限值
5. 三次函數切線 6. 旋轉體積       7. 扇形          8. 3直線找面積
9. 四次函數共線 10. 對戰問題    11. 六位數    12. 根號整

最低錄取分數：65分

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作者: cut6997 時間: 2021-4-17 16:05

Almighty老師已補完整版，我就自刪不傷大家眼睛了

作者: godness 時間: 2021-4-17 16:18

印象中應該是這樣
9. y=x^4-20x^2+2x+37

作者: koeagle 時間: 2021-4-17 17:29

想請教2、8、9，謝謝。

作者: tsusy 時間: 2021-4-17 17:52 標題: 回復 4# koeagle 的帖子

第 2 題.
對任意實數 \( x, y \)，由柯西不等式得
\( (x^{2}+(\sqrt{3})^{2})((\sqrt{3})^{2}+y^{2})\geq(\sqrt{3}x+\sqrt{3}y)^{2}=3(x+y)^{2} \)

將 \( (x,y)=(a,b),(b,c),(c,d),(d,a) \) 分別代入上式，並相乘得

\( \left[(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)(d^{2}+3)\right]^{2}\geq81\left[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\right]^{2} \)

\( \Rightarrow(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)(d^{2}+3)\geq9\left|(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\right|\geq9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) \)

作者: satsuki931000 時間: 2021-4-17 18:01 標題: 回復 4# koeagle 的帖子

8. 硬算，在\(\triangle{ABC}\)中
畫圖假設\(\displaystyle m=\frac{1}{3},m=\frac{4}{5}\)夾角為A
求得\(\displaystyle \tan A=\frac{7}{19}\),\(\displaystyle sinA=\frac{7}{\sqrt{410}}\)

\(\displaystyle m=\frac{4}{5},m=\frac{-1}{4}\)夾角為C
求得\(\displaystyle tanC=\frac{-21}{16}\),\(\displaystyle sinC=\frac{21}{\sqrt{697}}\)
正弦定理求得\(\displaystyle \overline{BC}=\frac{30\sqrt{697}}{\sqrt{410}}\)

又\(\displaystyle sinB=\frac{7}{\sqrt{170}}\)
所以面積為\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \frac{30\sqrt{697}}{\sqrt{410}} \cdot \frac{7}{\sqrt{170}}=945\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-4-17 18:51 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2021-4-17 18:15

9.設直線為\(y=mx+n\)
則方程式\(x^4-20x^2+(2-m)x+(37-n)=0\)有\(a,b,c,d\)四實根
且\(a=a,b=a+t,c=a+2t,d=a+3t\)
由四根和為0得\(\displaystyle t=-\frac{2}{3}a\),可知四根為\(\displaystyle a,\frac{1}{3}a,\frac{-1}{3}a,-a\)
再由兩兩乘積為-20求得\(a^2=18\)
取\(\displaystyle d=3\sqrt2,c=\sqrt2,b=-\sqrt2,a=-3\sqrt2\) 之後就求座標

作者: tsusy 時間: 2021-4-17 18:18 標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

第 8 題. 用 \( tan \) 之值，配合圖形會比較快

如果有畫圖的畫，會知，在三角形在 \( L_1 \) 上的兩頂點所在的內角皆為銳角

並作 \( L_1 \) 上的高，直接用兩個正切值就可以得到高的長度及面積了

所求面積 \( =\frac{1}{2}\cdot 90\cdot\left(90\cdot\frac{7}{30}\right)=945 \)
(利用斜率及差角公式可求得圖中 \( \tan A = \frac{7}{19}, \tan B = \frac{7}{11} \) )

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作者: Almighty 時間: 2021-4-17 18:47 標題: 回復 4# koeagle 的帖子

提供第8題的另解

圖片附件: 38397829-C0E9-4E23-8F39-7332BC55E7A4.jpeg (2021-4-17 18:48, 78.04 KB) / 該附件被下載次數 3660
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作者: satsuki931000 時間: 2021-4-17 18:51 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師糾正筆誤

作者: bugmens 時間: 2021-4-17 19:16

7.
小萱從半徑為6，圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形，金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\)，且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行，若將長方形\(PQRS\)彎曲，使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面，則當圓柱側面的面積最小時，試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)

四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形，頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上，頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上，而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\)，而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角，則正方形\(ABCD\)的面積為　　　。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

3條直線\(L_1,L_2,L_3\)，斜率\(\displaystyle m_1=\frac{1}{3},m_2=\frac{4}{5},m_3=-\frac{1}{4}\)，且\(L_1\)被\(L_2,L_3\)截出線段90，則圍成\(\Delta\)面積為何？

坐標平面上有三條直線\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)，其中\(L\)的斜率為\(\displaystyle \frac{1}{4}\)，\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)、\(\displaystyle -\frac{3}{4}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為51，則\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)所決定的三角形的面積為　　　。
(108松山工農，https://math.pro/db/thread-3145-1-1.html)

12.
令\(a_n\)為\(\sqrt{n}\)最接近的整數，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2000}a_n\)。

類似題
設\(a_n\)表示與\(\sqrt{n}\)最接近的整數(\(n\)為正整數)，試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{2012}}。\)
(建中通訊解題第97題，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

作者: cut6997 時間: 2021-4-17 19:33

想請教12題，
如果是取高斯的話是sum k_1^44 (2001-k^2)
可是最接近的該如何處理?

作者: liuandy 時間: 2021-4-17 19:38

請教3, 5題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2021-4-17 19:44 標題: 回復 13# cut6997 的帖子

第 12 題
1 有 2 個
2 有 4 個
3 有 6 個
4 有 8 個
:
:
44 有 88 個
45 有 20 個

作者: tsusy 時間: 2021-4-17 19:54 標題: 回復 14# liuandy 的帖子

第 5 題，也算常見的考古題了
1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切，則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

2. 三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為。(107中科實中國中部)

3. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中、96台中一中)
瑋岳老師的解答：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

4. \( a\in\mathbb{R} \)，過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線，若所作的切線恰有一條，求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)

5. 三次曲線 \( y=x^{3}+kx^{2}+x+1 \)，若由原點恰可作兩條切線，試求實數 \( k \) 範圍。(102松山家商)

6. 已知函數圖形 \( \Gamma:\,f(x)=x^{3}-x \)，而點 \( P(a,0) \) 是圖形外一點，若過 \( P \) 恰可作相異三條的切線，則 \( a \) 的範圍為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。(102北門高中)

7. 平面上動點 \( P(a,b) \)，已知通過點 P 對函數 \( f(x) = -x^3 + 2x + 3 \) 圖形可做三條切線，找出符合的關係式。(106高雄女中)

作者: cut6997 時間: 2021-4-17 20:03 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師，茅塞頓開
n與n+1中共(n+1)^2-n^2-1=2n個數
其中(n+0.5)^2=n^2+n+0.25>n^2+n
因此數量靠近n和n+1的個數對分
1有1+1
2有1+1+2
3有1+2+3
n有1+(n-1)+n=2n

作者: tsusy 時間: 2021-4-17 20:34 標題: 回復 14# liuandy 的帖子

第 3 題
依正射影公式可計算 \( (x',y') \)
\(\displaystyle \left(\frac{(x,y)\cdot(a,b)}{a^{2}+b^{2}}\right)(a,b)=\left(\frac{a^{2}x+aby}{a^{2}+b^{2}},\frac{abx+b^{2}y}{a^{2}+b^{2}}\right) \)

因此線性變換 \( T \) 的表示矩陣為 \(\displaystyle \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{bmatrix}a^{2} & ab\\
ab & b^{2}
\end{bmatrix} \)

作者: jasonmv6124 時間: 2021-4-17 21:52

請問7.10

作者: satsuki931000 時間: 2021-4-17 22:04

10.甲隊獲勝有C(6,0)+C(7,1)+...+C(12,6)=C(13,6)
同理乙也是C(13,6)，故所求為2*C(13，6)

作者: CyberCat 時間: 2021-4-17 22:08 標題: 回復 19# jasonmv6124 的帖子

10.
H的8取6*2

想法如下
視為有其中一隊獲勝第七場就停止比賽
設兩隊為A、B
不失一般性設A隊獲勝記為✔ 輸了記為✖
若A隊最終獲勝就會出現第七個✔
比賽紀錄：☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔
那麼這7個☐最多出現6次B
反之亦然

作者: tsusy 時間: 2021-4-17 22:16 標題: 回復 19# jasonmv6124 的帖子

第 7 題，算得有點醜，如有錯誤，還請指正

令 \( \overline{SP}=2x, \overline{SR}=y，則 (\sqrt{3}x+y)^{2}+x^{2}=6^{2} \Rightarrow4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}xy=36 \)。

而圓柱側面積為 \( 2xy \)。

由算幾不等式有 \(\displaystyle \frac{4x^{2}+y^{2}}{2}\geq\sqrt{4x^{2}y^{2}}=2xy \Rightarrow(4+2\sqrt{3})xy\leq36 \Rightarrow xy\leq36-18\sqrt{3} \)

因此可得 \( y=2x \) 時，圓柱有最大側面積，此時 \( x = \frac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)

而此圓柱的體積為 \(\displaystyle \pi(\frac{2x}{2\pi})^{2}y=\frac{2x^{3}}{\pi}=\frac{81\sqrt{6}-135\sqrt{2}}{\pi} \)

作者: thepiano 時間: 2021-4-17 23:10 標題: 回復 19# jasonmv6124 的帖子

第 10 題
C(14，7) = 3432
甲隊從 14 個位置中，選 7 個排入已安排好上場次序的 7 人，剩下給乙隊，比照辦理
排成一列後，由左至右依序是輸的順序

作者: thepiano 時間: 2021-4-17 23:17

這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試

作者: s7908155 時間: 2021-4-17 23:17

請問第四題，偶數跟奇數的2:1位置不同，該如何用二項型寫出一般式呢？

作者: Ellipse 時間: 2021-4-17 23:17 標題: 回復 21# CyberCat 的帖子

也可以想成7x7棋盤格,從左下角的點開始,向右或向上走捷徑
假設向右一步表示甲被淘汰一個,向右兩步表示甲被淘汰兩個,..........
假設向上一步表示乙被淘汰一個,向上兩步表示乙被淘汰兩個,..........
所有賽局狀況,都可以一一對應到棋盤格走捷徑之路徑
所求=(7+7)! /(7!*7!)=3432

作者: Ellipse 時間: 2021-4-17 23:18

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-17 23:17 發表
這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試

大概要7x~8x分進複試

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 00:30 標題: 回復 25# s7908155 的帖子

第4題
\(\begin{align}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}={{x}_{0}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{1}}+\frac{2}{3}{{x}_{0}} \\
& {{x}_{3}}={{x}_{2}}+\frac{2}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{2}}+\frac{2}{3}{{x}_{1}} \\
& {{x}_{4}}={{x}_{2}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{3}}+\frac{2}{3}{{x}_{2}} \\
& : \\
& : \\
& {{x}_{n}}=\frac{1}{3}{{x}_{n-1}}+\frac{2}{3}{{x}_{n-2}} \\
\end{align}\)

作者: moumou 時間: 2021-4-18 00:47 標題: 第七題另解

圓周跟高都跟寸絲老師算一樣，但最後忘記兩倍數字算錯了，寸絲老師的數字才是對的。

圖片附件: 0A8D77C7-6FC4-4110-B26E-04329AD3927A.jpeg (2021-4-18 00:47, 154.34 KB) / 該附件被下載次數 2219
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=5861&k=13548003ebff6de4f728aff6f06caaa1&t=1730420163

作者: liuandy 時間: 2021-4-18 09:48 標題: 回復 18# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師！

作者: farmer 時間: 2021-4-18 18:47 標題: 第10題有陷阱

題目說的是對戰方式，至於最後哪一隊贏則並不關心。
上場方式與對戰過程的輸贏有密切關聯(甲輸則甲下一位上場)，
但問題會出在當最後剩下甲乙各一人時，不需要管誰輸誰贏。

因此以走捷徑方式去看，在(0,0)-->(7,7) 所有捷徑中，
甲輸則往右走，乙輸則往上走，得到的捷徑數是所有對戰可能過程數。
由(6,6)-->(7,7)有兩條路徑(甲乙雙方剩一人時有兩種對戰結果)，
這兩條只算一次(兩種對戰結果當作一種來計算)，
所以答案應該是(0,0)-->(7,7)捷徑數扣掉(0,0)-->(6,6)捷徑數，
C(14,7)-C(12,6)

(驗證2對2或3對3會更清楚)

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 20:24 標題: 回復 31# farmer 的帖子

Farmer 兄的心思縝密

這份題目是 Almighty 兄手寫的，也許用詞跟原題有出入
也許原題是用 "比賽過程" 之類的字眼

作者: leonyo 時間: 2021-4-18 21:50 標題: 回復 31# farmer 的帖子

其實第10題的賽制是所謂的擂台賽，某隊所有人都被淘汰後，就由另一隊獲勝
因此只要決定好甲隊的7個人在這14個順位中的哪些順位被淘汰即可
也就是寸絲老師的C(14,7)

作者: Almighty 時間: 2021-4-18 23:42 標題: 回復 33# mojary 的帖子

後來也編輯好電子檔~才注意到你的提供

作者: mojary 時間: 2021-4-19 08:22 標題: 回復 35# Almighty 的帖子

那就保留Almighty老師您的就好。
才不會混淆。
感謝您的提供。

作者: math1 時間: 2021-4-19 20:36 標題: 試題解答

請問雄女會公布試題解答嗎？

作者: thepiano 時間: 2021-4-19 21:13 標題: 回復 36# math1 的帖子

甭說解答了，雄女從不公布試題

作者: tsusy 時間: 2021-4-19 21:47 標題: 回復 36# math1 的帖子

只能自己算，然後找人對答案
1. 0
2. 見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=1#pid22473
3. \( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{bmatrix}a^{2} & ab\\
ab & b^{2}
\end{bmatrix} \)
4. \( \frac{3}{5} \)
5. 4
6. \( \frac{5}{3}\pi \)
7. \( \frac{81\sqrt{6}-135\sqrt{2}}{\pi} \)
8. 945
9. \( (3\sqrt{2},1-6\sqrt{2}), (-\sqrt{2},1-2\sqrt{2}), (\sqrt{2},1+2\sqrt{2}), (3\sqrt{2},1+6\sqrt{2}) \)
10. 3432 (或另一種解讀 2490)
11. 2040
12. 59640

作者: pretext 時間: 2021-4-20 09:36

雄女不公布試題或答案的話，這樣怎麼知道他們的答案有沒有錯啊？

作者: jerryborg123 時間: 2021-4-24 11:38 標題: 回復 38# tsusy 的帖子

想請教第一題是怎麼化簡到0的？
我化簡到一個sin20度的四次式就卡住了

作者: thepiano 時間: 2021-4-24 12:08 標題: 回復 40# jerryborg123 的帖子

第1題
\(\begin{align}
  & \left| \begin{matrix}
\sin {{40}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }} & -\sin {{90}^{{}^\circ }}  \\
-\sin {{20}^{{}^\circ }} & -\sin {{90}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }}  \\
-\sin {{90}^{{}^\circ }} & -\sin {{20}^{{}^\circ }} & \sin {{40}^{{}^\circ }}  \\
\end{matrix} \right| \\
& =\left| \begin{matrix}
\sin {{40}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }} & -1  \\
-\sin {{20}^{{}^\circ }} & -1 & \sin {{70}^{{}^\circ }}  \\
-1 & -\sin {{20}^{{}^\circ }} & \sin {{40}^{{}^\circ }}  \\
\end{matrix} \right| \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}-{{\sin }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}-{{\sin }^{2}}{{70}^{{}^\circ }}+1+\sin {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }}\sin {{70}^{{}^\circ }}+\sin {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }}\sin {{70}^{{}^\circ }} \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}-\left( {{\sin }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{20}^{{}^\circ }} \right)+1+2\sin {{20}^{{}^\circ }}\cos {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }} \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}+{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }} \\
& =0 \\
\end{align}\)

作者: jerryborg123 時間: 2021-4-24 13:00 標題: 回復 41# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師
我太早把40度都換成20度了

作者: jeanvictor 時間: 2021-10-12 21:53 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

請問第10題 2490這個答案是以哪個方式解讀呢?

作者: tsusy 時間: 2021-10-13 13:39 標題: 回復 42# jeanvictor 的帖子

30# farmer 老師所提，只關心對戰方式，不關心對戰結果
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=3#pid22512

兩種並列的原因是因為此份試題為考生記憶版，無法確定原題之敘述

作者: jeanvictor 時間: 2021-10-13 23:17 標題: 回復 43# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師解答，但是按照famer老師敘述的結果不是2490
所以蠻困惑2490怎麼算出來的

作者: tsusy 時間: 2021-10-13 23:40 標題: 回復 44# jeanvictor 的帖子

找一下當初算的，只留下一個答案...
看起來最大可能就是我算錯了

作者: jeanvictor 時間: 2021-10-14 07:20 標題: 回復 45# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師解惑啦~ 仔細一看也才發現雄女沒在公布答案的，以為那是他們公布的，感恩哦。

作者: Superconan 時間: 2023-4-2 14:23

之前花了一些時間參考各方敘述重打的試題，分享給大家

附件: 110高雄女中試題(記憶版).pdf (2023-4-2 14:23, 207.59 KB) / 該附件被下載次數 1566
https://www.math.pro/db/attachment.php?aid=6535&k=bdfe321315518d816778989d52668b9e&t=1730420163

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