題目:\(x^4+x^3-p=0\) 有有理根,\(p<50\) 且 \(p\) 為兩位數且為正整數,求 \(p\) 值?
解答:
因為 \(p\) 為整數,由整系數一次因式檢驗法,可知此有理根必為整數根,令其為 \(\alpha\),
則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\)
case i: 若 \(\alpha\geq 0\),則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\alpha^4\Rightarrow 50\geq\alpha^4\Rightarrow \alpha=0, 1, 2\)
且因為 \(p\) 為兩位數正整數,所以 \(\alpha=2\Rightarrow p=24.\)
case ii: 若 \(\alpha<0\),因為 \(\alpha\) 為整數,所以 \(\alpha\leq -1\Rightarrow \alpha+1\leq0\)
\(\Rightarrow 0\geq \alpha+1>\alpha\Rightarrow 0\geq \left(\alpha+1\right)^3>\alpha^3\)
則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow 50\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow \alpha=-1,-2,-3\)
且因為 \(p\) 為小於 \(50\) 的兩位數正整數,所以 \(\alpha=-1,-2,-3\) 都不合。
故,此方程式有一有理根為 \(2\) 且 \(p=24.\)
註:感謝 milkie1013 提醒修正小錯誤。 ^__^