如下圖，A、C在以O為圓心，半徑為\( \sqrt{50} \)的圓周上，若\( ∠ABC=90^o \)，\( \overline{AB}=6 \)，\( \overline{BC}=2 \)，則\( \overline{OB}= \)？
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
(1983AIME第4題，http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

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求方程式\( x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45} \)所有實根的乘積。
(97高中數學能力競賽台南區筆試二)
(1983AIME第3題，http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

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某綜藝節目舉辦抽獎遊戲，遊戲規則是參加者從四個門中選一個，三個是「銘謝惠顧」，一個是「進口轎車」。當選了其中一個門之後，主持人會從沒選的三個門中，隨機把一個未中獎的門打開，參加者可以決定要不要換別的門。如果參加者的策略是不管如何都一定要換，則獲得進口轎車的機率為？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)
蒙提霍爾問題
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... E%E5%95%8F%E9%A1%8C

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設函數\( y=x+4+\sqrt{5-x^2} \)之極大值為M，極小值為m。則有序數對(M,m)？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二，高中數學競賽教程P183)

2010.7.4補充
函數\( \displaystyle \sqrt{9-x^2}+\frac{4}{3}x+2 \)的最大值為何？
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
(99臺北縣國中聯招)　

設a,b,c為整數且a≠0。若方程式\( ax^2+bx+c=0 \)的根為有理數，試證：a,b,c中至少有一個是偶數。
(97高中數學能力競賽第二區筆試一，高中數學競賽教程P386)

設α,β都是實數，若不論α值為何，方程式\( x^4-2x^2+αx+β^2=0 \)的四個根都是實根，試證：\( \big| β \big| \le 1 \)。
(97高中數學能力競賽台北市口試試題，高中數學競賽教程P386)

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在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25(例如A對應0，B對應1，C對應2，...，Z對應25)。現有一個密碼單詞是由4個字母構成，記此4個字母由左而右對應的數值分別為\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),\( x_4 \)。已知：整數\( x_1+2x_2 \),\( 3x_2 \),\( x_3+2x_4 \),\( 3x_4 \)除以26的餘數分別為9，16，23，12則密碼的單詞是？
(97高中數學能力競賽第一區筆試二，97師大附中第二次教師甄選試題，HOPE)

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設\( \big| x \big| \)為小於或等於x之最大整數，試解方程式\( x^2-97\big| x \big|+7=0 \)。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)

解\( 2x^2-11\big| x \big|+12=0 \)。
( \( \big| x \big| \)為小於等於x的最大整數，例：\( x=3.8 \)→\( \big| x \big|=3 \)；\( x=-0.4 \)→\( \big| x \big|=-1 \)；\( x=7 \)→\( \big| x \big|=7 \) )
(建中通訊解題第24期)

若是x實數，定義\( \big| x \big| \)表示小於或等於x的最大整數，試求方程式\( 2x^2-5\big| x \big|+1=0 \)的解。
(建中通訊解題第52期)

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使得\( 4^{97}+4^{2008}+4^n \)為完全平方數的最大正整數n為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

求最大自然數n，使得\( 4^{2009}+4^{2008}+4^n \)是完全平方數
(建中通訊解題第68期)

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已知\( x+y+z=0 \)且\( x^2+y^2+z^2=2 \)，試求\( x^4+y^4+z^4 \)的值。
(97高中數學能力競賽高屏區筆試二)
提示：使用遞迴式
\( x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}=(x+y+z)(x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2})-(xy+yz+zx)(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})+xyz(x^n+y^n+z^n) \)

3個實數x,y,z，滿足下列三個等式\(  \matrix{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \)，試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值？
(建中通訊解題第70期)

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設a,b,c都是正實數，若11,21,31是方程式\( \displaystyle a^{\frac{1}{x}} b^{\frac{1}{x+3}} c^{\frac{1}{x+6}}=10 \)的三個根，則\( log(abc)= \)？
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)
提示：可整理出x的一元三次方程式，三根為11,21,31，利用根與係數的關係求三根之和為\( log a+log b+log c-9 \)

若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \)，則\( a+b+c \)？
(A)18　(B)24　(C)27　(D)30
(96苗栗縣國中聯招．http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27821)
提示：可整理出x的一元三次方程式，三根為8,9,10，利用根與係數的關係求三根之和求\( a+b+c \)

2010.7.4補充
若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{1}+\frac{b}{4}+\frac{c}{7}=\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{c}{8}=\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{c}{9}=1 \)，則\( a+b+c \)？
(A)13　(B)15　(C)17　(D)18
(99臺北縣國中聯招)

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在連續投擲一均勻銅板10次的實驗中，反面未曾連續出現2次或2次以上的機率為。
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

投擲一公正銅板6次，在投擲過程中曾經連續出現兩次正面的機率有多少？
(97高中數學能力競賽嘉義區筆試二)

把一枚硬幣連擲次，在投擲過程中接連出現兩次正面向上的機率等於多少？
(95士林高商，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21970)

投擲一枚公正硬幣n次，求至少連續出現兩次正面的機率。
(96學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008s/2Q.pdf
http://math.pro/db/thread-491-1-4.html

連續投擲一枚公正的硬幣，直到出現連續兩次正面才停止投擲，並計算投擲的次數，試問：
(1)投擲到第15次才出現連續兩次正面的機率為何？
(2)平均而言為了獲得連續兩次正面的期望值投擲次數為何？
(89高中數學能力競賽高雄市筆試一)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aohsiungCity_01.pdf

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已知有1,\( \displaystyle \frac{1}{2} \),\( \displaystyle \frac{1}{3} \),...,\( \displaystyle \frac{1}{2008} \)共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數\( a+b+ab \)，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題)

已知有1、\( \displaystyle \frac{1}{2} \)、\( \displaystyle \frac{1}{3} \)、\( \displaystyle \frac{1}{4} \)、...、\( \displaystyle \frac{1}{2001} \)共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數\( a+b+ab \)，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-4 07:14 PM 編輯 ]

若三正數x,y,z滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

已知x,y,z是正数，且满足\( xyz(x+y+z)=1 \)，则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为？
(新奧數教程高二卷第2講　平均不等式和科西不等式，高中數學101　P353)

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設n為正整數，a為大於1之實數。試解不等式
\( \displaystyle log_a x-4log_{a^2} x+12log_{x^3}x+...+n(-2)^{n-1}log_{a^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}log_a (x^2-a) \)
(97高中數學能力競賽第四區筆試一，1991大陸高考試題)

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將81個正實數\( a_{ij} \)( \( i,j=1,2,3,...,9 \) )排成9行9列，其中每一橫列的數均成等差數列，每一直行的數均成等比數列，且所有的公比相等。若\( a_{24}=1 \)，\( \displaystyle a_{33}=\frac{3}{8} \)，\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^9 a_{kk}=a_{11}+a_{22}+...+a_{99}= \)？
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)

\( n^2 \)个正数排成n行n列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知\( a_{24}=1 \)，\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \)，\( \displaystyle a_{43}=\frac{3}{16} \)，求\( a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+...+a_{nn} \)
(1990大陸高中數學競賽)

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平面上有一個六邊形，其中四個邊的邊長為\( \sqrt{10} \)，而其餘兩個邊的邊長為1。若此六邊形有一個外接圓，則此圓的半徑為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

一圓內接六邊形的相鄰三條邊，每邊長為3，另外的相鄰三條邊，每邊長為5，若圓半徑為r，則下列何者正確？(1)\( 2 \le r < 3 \)　(2)\( 3 \le r < 4 \)　(3)\( 4 \le r < 5 \)　(4)\( 5 \le r < 6 \)　(5)\( 6 \le r < 7 \)　
(RB540.swf)

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將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
提示：
(1)若M ≡ 0(mod 3)，則\( M=3n \)，積\( 3^n \)最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3)，則\( M=3n+1=3(n-1)+2 \cdot 2 \)，積\( 3^{n-1}\cdot 2^2 \)最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3)，則\( M=3n+2 \)，積\( 3^n \cdot 2 \)最大。

有n個正整數，其總和為19。請問這n個數最大可能的乘積為何？
(2006澳洲AMC高級卷)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-5-2 10:56 PM 編輯 ]