1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
補上出處，新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列，求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834
的"奧數教程.rar"
3.平面上有一四邊形ABCD，其頂點分別為\( A(0,0) \)，\( B(2,1) \)，\( C(3,4) \)，\( D(-1,7) \)，此平面上另P，Q兩點，使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值，試求P，Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \)，配方法求最小值
\( \overline{AC} \)，\( \overline{BD} \)的交點為Q
二、證明題
1.證明：\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1999}<\frac{1}{44} \)
補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))
2.給定空間中四面體OABC，其中三邊\( \overline{OA} \)，\( \overline{OB} \)，\( \overline{OC} \)兩兩垂直，若\( a△ABC \)，\( a△OAB \)，\( a△OBC \)，\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \)，\( △OAB \)，\( △OBC \)，\( △OAC \)的面積，試證：\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
補上一題，新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中，棱VA、VB、VC两两垂直，三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证：\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。
提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \)，\( B=(0,b,0) \)，\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \)，\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
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本帖最後由 bugmens 於 2010-5-18 09:49 PM 編輯 ]
