設\( \displaystyle f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \)，求\( f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2010) \)值。(99臺中一中學術性向資賦優異學生鑑定數學科實作測驗試題)
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf


設\( \displaystyle Z=\Bigg[\; \matrix{cos120^o & -sin120^o \cr sin120^o & cos120^o} \Bigg]\; \)，則\( Z+Z^2+Z^3+...+Z^{100}= \)

①\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)　②\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)　③\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{\frac{-1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} \cr \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2}} \Bigg]\; \)　④\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{\frac{-1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \cr \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2}} \Bigg]\; \)


癮科學：查爾斯．巴貝奇的差分機與分析機http://chinese.engadget.com/2011 ... analytical-engines/

若五次實係數多項式\( f \)滿足\( f(0)=1 \)，\( f(1)=3 \)，\( f(2)=4 \)，\( f(3)=5 \)，\( f(4)=6 \)，\( f(5)=18 \)，則\( f(6)= \)？
(2004TRML個人賽)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
1 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 18 & & 75 \cr
& 2 & & 1 & & 1 & & 1 & & 12 & & 57 & \cr
& & -1 & & 0 & & 0 & & 11 & & 45 & & \cr
& & & 1 & & 0 & & 11 & & 34 & & & \cr
& & & & -1 & & 11 & & 26 & & & & \cr
& & & & & 12 & & 12 & & & & &  } \)


\( f(x) \)為四次多項式，且\( f(1996)=0 \)，\( f(1998)=1 \)，\( f(2000)=4 \)，\( f(2002)=27 \)，\( f(2004)=256 \)，求\( f(2008) \)之值？
(97中一中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779)
Given a polynomial \( f(x) \) with degree 4. It's known that \( f(1996)=0 \)、\( f(1998)=1 \)、\( f(2000)=4 \)、\( f(2002)=27 \) and \( f(2004)=256 \),find \( f(2008) \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=286156
\( \matrix{f(1996) & & f(1998) & & f(2000) & & f(2002) & & f(2004) & & f(2006) & & f(2008) \cr
0 & & 1 & & 4 & & 27 & & 256 & & 1045 & & 2916\cr
& 1 & & 3 & & 23 & & 229 & & 789 & & 1871 & \cr
& & 2 & & 20 & & 206 & & 560 & & 1082 & & \cr
& & & 18 & & 186 & & 354 & & 522 & & & \cr
& & & & 168 & & 168 & & 168 & & & &  } \)


令\( f(x) \)為領導係數為1的實係數四次多項式，且\( f(99)=2 \)、\( f(98)=5 \)、\( f(97)=10 \)、\( f(96)=17 \)，試求\( f(100)= \)？
(99大安高工，http://math.pro/db/thread-960-1-1.html)
\( \matrix{f(96) & & f(97) & & f(98) & & f(99) &  & f(100) \cr
17 & & 10 & & 5 & & 2 & & x \cr
& -7 & & -5 & & -3 & & x-2 & \cr
& & 2 & & 2 & & x+1 & &  \cr
& & & 0 & & x-1 & & & \cr
& & &  & 24 & & & & } \)


設\( f(x) \)為三次式，若\( f(23)=5 \)，\( f(24)=6 \)，\( f(25)=25 \)，\( f(26)=44 \)，則\( f(x) \)除以\( x-22 \)之餘式為？
(99文華高中代理，http://math.pro/db/thread-1003-1-1.html)
\( \matrix{f(22) & & f(23) & & f(24) & & f(25) &  & f(26) \cr
40 & & 5 & & 6 & & 25 & & 44 \cr
& -35 & & 1 & & 19 & & 19 & \cr
& & 36 & & 18 & & 0 & &  \cr
& & & -18 & & -18 & & &  } \)


\( f(x) \)為x之三次多項式，且\( f(2007)=2 \)，\( f(2008)=0 \)，\( f(2009)=1 \)，\( f(2010)=1 \)，試求\( f(2011)= \)？
(100香山高中，http://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)
\( \matrix{f(2007) & & f(2008) & & f(2009) & & f(2010) &  & f(2011) \cr
2 & & 0 & & 1 & & 1 & & -4 \cr
& -2 & & 1 & & 0 & & -5 & \cr
& & 3 & & -1 & & -5 & &  \cr
& & & -4 & & -4 & & &  } \)


多項式\( f(x) \)的次數不低於三次，以\( x-1 \)除之餘6，以\( x-2 \)除之餘11，以\( x-3 \)除之餘18，則\( f(x) \)以\( (x-1)(x-2)(x-3) \)除之，得餘式？
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) \cr3 & & 6 & & 11 & & 18 \cr
& 3 & & 5 & & 7 & \cr
& & 2 & & 2 & & } \)
\( C_0^n \times 3+C_1^n \times 3+C_2^n \times 2=n^2+2n+3 \)
餘式為\( 2x^2+2x+3 \)



\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr 0 & & 3 & & 4 & & 6 & & 12 \cr
& 3 & & 1 & & 2 & & 6 & \cr
& & -2 & & 1 & & 4 & &  \cr
& & & 3 & & 3 & & &  } \)
\( \displaystyle C_0^n \times 0+C_1^n \times 3+C_2^n \times -2+C_3^n \times 3=\frac{1}{2}n^3-\frac{5}{2}n^2+5n \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-2-3 11:22 PM 編輯 ]

尤拉在1742年時，將白努力所舉的四次多項式\( f(x) \)分解為二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2+\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1+\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
與二次多項式
\( \displaystyle x^2-\Bigg(\; 2-\sqrt{4+2 \sqrt{7}} \Bigg)\; x+\Bigg(\; 1-\sqrt{4+2 \sqrt{7}}+\sqrt{7} \Bigg)\; \)
的乘積。白努利所舉的多項式\( f(x) \)=　　　　(以降次排列表示)
(100華江高中二招，http://math.pro/db/thread-1177-1-1.html)



用公式解得方程式的兩根
(%i1)　
x^2-(2+sqrt(4+2*sqrt(7)))*x+(1+sqrt(4+2*sqrt(7))+sqrt(7))=0;
solve(%,x);
(%o1)　\( x^2-(\sqrt{2 \sqrt{7}+4}+2)x+\sqrt{2 \sqrt{7}+4}+\sqrt{7}+1=0 \)
(%o2)
[ \( \displaystyle x=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \),
\( \displaystyle x=\frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \) ]

取第一個根來計算
(%i3)　%[1]
(%o3)　\( \displaystyle x=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i+\sqrt{2\sqrt{7}+4}+2}{2} \)

兩邊都減1
(%i4)　ratsimp(%-1);
(%o4)　\( \displaystyle x-1=\frac{\sqrt{2 \sqrt{7}+4}-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}％i}{2} \)

兩邊平方
(%i5)　ratsimp(%^2);
(%o5)　\( \displaystyle x^2-2x+1=-\frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{7}-2}\sqrt{2 \sqrt{7}+4}％i-4}{2} \)

rootscontract指令可以將獨立的根號乘在一起
√(x-1)*√(x+1)=√(x^2-1)
(%i6)　rootscontract(%);
(%o6)　\( \displaystyle x^2-2x+1=-\frac{2 \sqrt{-3}-4}{2} \)

兩邊都減2
(%i7)　ratsimp(%-2);
(%o7)　\( x^2-2x-1=-\sqrt{3}％i \)

兩邊平方去掉i
(%i8)　%^2;
(%o8)　\( (x^2-2x-1)^2=-3 \)

得到答案i
(%i9)　expand(%+3);
(%o9)　\( x^4-4x^3+2x^2+4x+4=0 \)



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