裂項相消
在數列與級數都會提到\( \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+...+\frac{1}{n \cdot (n+1)} \)這類的題目，將每一項分成一個加和一個減的兩項造成相消，所以才被稱為裂項相消。
歷屆教甄還考了很多題用到裂項相消的題目，這次的筆記值得各位網友用心準備。
2009.10.10補充
http://math.pro/db/thread-442-1-4.html
出自
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Ilan_02.pdf
2009.10.27補充
1*1!+2*2!+3*3!+...+250*250! (mod 2008)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=304317
2009.11.29補充
數列\( \{y_n \} \)滿足\( y_1=1 \)且\( \displaystyle y_{k+1}=\frac{1}{2}y^2_k+y_k \)，\( k=1,2,3,... \)，已知\( \displaystyle A \le \frac{2}{y_1+2}+\frac{2}{y_2+2}+...+\frac{2}{y_{2008}+2}<A+1 \)，其中A為整數。試求A之值。
(97高中數學能力競賽 台灣省第二區筆試(一)試題)
2009.12.06補充
設一數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 a_4...a_n+1 \)試證明：\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_1}<1 \)
(中一中 合作盃數學金頭腦 第11次有獎徵答)
2010.1.22補充
Let \( S=1!(1^2+1+1)+2!(2^2+2+1)+3!(3^2+3+1)+...+100!(100^2+100+1) \). What is the value of \( \displaystyle \frac{S+1}{100!} \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=326518
2010.2.23補充
\( \displaystyle g(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)}= \)？
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=333174
2010.2.27補充
設\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n} \)，\( n=0,1,2,... \)。已知\( a_0=1 \)，則\( a_{2008}= \)？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
http://www.math.ntnu.edu.tw/exam/hs/97/exam/97_hsinchu_exam2.pdf
2010.3.21補充
Evaluate:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k \sqrt{k+2}+(k+2)\sqrt{k}} \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=339716
2010.4.18補充
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
2010.5.27補充
求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{997}(-1)^k C_k^{1998} \)的值。
[提示]
\( \displaystyle C_k^n=C_{k-1}^{n-1}+C_k^{n-1} \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}5^{n-1} \)
[提示]
\( \displaystyle \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{5}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} \)
2010.7.5補充
求\( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{64\sqrt{63}+63\sqrt{64}} \)之值為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{5}{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{5}{6} \) (C)\( \displaystyle \frac{7}{8} \) (D)\( \displaystyle \frac{8}{9} \)
(99南台灣國中聯招)
2010.7.8補充
求\( \displaystyle \frac{1}{4 \times 1^4+1}+\frac{2}{4 \times 2^4+1}+\frac{3}{4 \times 3^4+1}+...+\frac{100}{4 \times 100^4+1} \)
第六屆培正數學邀請賽，決賽（中一組）
http://www.mathdb.org/resource_sharing/c_resource_06.htm
[提示]
\( \displaystyle \frac{n}{4n^4+1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n^2-2n+1}-\frac{1}{2n^2+2n+1}) \)
2010.7.19補充
級數\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1}= \)？
①\( \displaystyle \frac{1}{2} \) ②\( \displaystyle \frac{1}{4} \) ③\( \displaystyle \frac{1}{3} \) ④\( \displaystyle \frac{1}{6} \)
(99中區六縣市策略聯盟國中聯招)
2010.10.3補充
Find sum of infinite series.
\( \displaystyle \frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+\frac{9}{400}+\frac{11}{900}+... \)
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=369797
2010.10.16補充
Let \( \displaystyle a_n=\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}+\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2} \)，\( n \ge 1 \). Evaluate \( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{20}} \).
http://purplecomet.org/welcome/practice 的Fall 2003 Meet
2010.11.25補充
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{4 \times 2^2}{(2^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 3^2}{(3^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 4^2}{(4^2-1)^2}}+......+\sqrt{1+\frac{4 \times 20^2}{(20^2-1)^2}}= \)？
2009年青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選決賽
2011.1.9補充
Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，
http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968)
點題號有解答
2011.1.15補充
數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \)，求\( a_{100} \)的整數部分？
[提示]
\( \displaystyle a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2} \)，再證明\( \frac{1}{a_n^2}\le \frac{1}{2^2} \)，\( n \ge 2 \)
2011.1.16補充
設\( \displaystyle S_n=\frac{1}{3P_1^1}+\frac{1}{4P_2^2}+\frac{1}{5P_3^3}+...+\frac{1}{(n+2)P_n^n} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n \)。
(98士林高商，
http://math.pro/db/thread-890-1-1.html)
2011.3.2補充
Find the value of \( \displaystyle \frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+... \).
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=150&t=394473
2011.5.29補充
數列\( \displaystyle \frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2}，\frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2}，\frac{8 \cdot 3}{5^2 \cdot 7^2}，...，\frac{8 \cdot 8n}{(2n-1)^2 \cdot (2n+1)^2}，... \)，若\( S_n \)表前n項之和，且\( \displaystyle S=\lim_{n \to \infty}S_n \)，
(1)求\( S_n \)及S (2)求使\( \displaystyle S-S_n<\frac{1}{10000} \)成立的最小自然數n的值
(100嘉義女中，
http://math.pro/db/thread-1115-1-1.html)
2011.6.26補充
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13 (B) 23 (C) 29 (D) 49
(100全國高中聯招，
http://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
(100麗山高中第二次，
http://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)
2011.6.30補充
已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？
(100台北市中正高中二招，
http://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)
2011.8.13補充
已知數列\( <a_n> \)的一般式為\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，n為正整數，其前n項為\( S_n \)，則在數列\( S_1，S_2，...，S_{2011} \)中，有理數項共有幾項？
(建中通訊解題第74期)
100.9.3補充
設\( \displaystyle A=\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}} \)，則不超過A的最大整數為何？
建中通訊解題 第88期
100.9.17補充
設\( a_0=1 \)，\( a_1=3 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2} \)，\( n \ge 1 \)，試求
\( \displaystyle \frac{1}{a_0+1}+\frac{1}{a_1+1}+...+\frac{1}{a_n+1}+\frac{1}{a_{n+1}-1} \)，\( n \ge 1 \)
(1001中山大學雙週一題 第一題)
100.10.1補充
設數列\( {a_n} \)滿足，\( a_1=3 \)且\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \)，\( n=2,3,4,... \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i} \Bigg]\; \)之值為何？
([x]：表不大於x的最大整數)
(99高中數學能力競賽 屏東區筆試二試題，
http://math.pro/db/thread-1051-1-8.html)
100.10.7補充
求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)(k+5)} \)之值？
(100育成高中代理，
http://math.pro/db/thread-1204-1-1.html)
100.10.22補充
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{C_k^{10+k}}= \)？
http://blog.udn.com/ivan5chess/3978899
100.10.23補充
證明\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)k!}=1 \)
張福春、曾介玫，一般生成函數之應用，數學傳播
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{(k+2)k!}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{k+2}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
101.1.1補充
設\( \displaystyle f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \)，求\( f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2010) \)值。
(99臺中一中學術性向資賦優異學生鑑定數學科實作測驗試題)
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf
101.1.31補充
數列的第n項等於\( n(n+1)(n+2)(n+3) \)，則該數列的前n項和為？
http://www.webezgo.com.tw/~tsea/ ... ei/2008theme/F4.pdf
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)= \)？
http://math.pro/db/thread-1281-1-1.html
[
本帖最後由 bugmens 於 2012-1-31 10:28 AM 編輯 ]
