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例題:類似線性規劃求範圍

例題:類似線性規劃求範圍

a,b,c,d為實數

a+b+c+d=6

a^2+b^2+c^2+d^2=12

求a的範圍
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代碼:
b+c+d=6-a (這是在 b-c-d 為三維軸上的平面)

b^2+c^2+d^2=12-a^2 (這是在 b-c-d 為三維軸上的球面)

以上兩曲面有交點,則球心(0,0,0)到平面的距離要小於半徑√(12-a^2)

是故

|0+0+0-(6-a)|
-------------≦√(12-a^2)
    √3

兩邊同時平方

a^2-12a+36≦36-3a^2

4a^2-12a≦0

0≦a≦3


當 a=3 最大值時 (a,b,c,d)=(3,1,1,1)

當 a=0 最小值時 (a,b,c,d)=(0,2,2,2)
另解,

利用柯西不等式:(b*1+c*1+d*1)^2≦(b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2) ,解 a 的範圍。

多喝水。

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