題目如附圖，想請教各位老師是否可以用遞迴的方式處理呢？
感謝各位老師

可以將式子進行變形 (把減掉的部分移到等號右邊想成等比級數)得到方程式x^(n+1)-2x^n+1=0
接著可以發現alpha_n是遞增的 (上界是2)，因此透過單調有界定理得知數列會收斂。
極限值感覺是2，但是可能要再想一下要怎麼嚴格說明，晚點想到繼續回覆~

更新：可以考慮2-1/n，透過中間值定理可以發現根會落在2-1/n和2之間  (需要用二項式定理估計一下)

原本提問時提到的遞迴我沒有很懂，所以分享了自己的做法 (但比較需要對微積分的估計比較敏感)，如果提問的老師如果是想討論自己的做法可以稍微提一下想法，或是寫出一些初步的想法，後續可以再討論看看~

[ 本帖最後由 小超人Mo 於 2024-4-2 12:41 編輯 ]

老師你好！
我是這樣做的，但不太確定如何嚴格說明

[ 本帖最後由 tian 於 2024-4-2 13:52 編輯 ]

證明存在性的部分沒有問題，可是你寫的方式出了一個(還蠻常見的)問題：數列遞增有上界會收斂，但是「不一定會收斂到你挑的那個上界」，除非你可以證明那個上界是「最小上界」。
以這題來說，題目告訴我們上界是2，那3一定也是這個數列的上界，但很顯然這個數列並不會收斂到3。
因此需要進一步說明這個數列真的會收斂到2 (而不是1和2中間的另一個數)

對啊～我不知該怎麼找到最小上界的方法
感謝老師提供用中間值定理的方法！

圖片的第 7 行、第 8 行，正負號(加減)有點奇怪，兩行的推理 (=>) 看起來都不正確