引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-5-8 10:11 發表
出題教授可能剛好有教到這個，然後就直接拿來考了…
雖然說教甄沒有範圍，但感覺不怎麼適合。

真的要幫忙反映一下
大學教授不要再出這種沒有鑑別度的題目
除非是剛畢業且對高微很熟的人
不然還會有幾個記得Rudin的書裡面有這個?
考這種觀念,高中老師也教不到

還記得有一次去考某間獨招
好像只有8題左右計算/證明
然後每題都是大學/研究所裡面的題型
結果考出來一堆人零分....

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-8 14:16 編輯 ]

ABC
DEF
GHI
(1) 選中E : 則(A,I),(D,F),(G,C),(B,H)這四組中恰各選出一個,方法 2^4-4*2=8
(2) 沒選中E : 方法 C(8,5)-4*C(5,2)+4=20
所以方法共 8+20=28

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-8 15:36 編輯 ]

填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考


可以先看到\(\displaystyle (3n)!=\left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-1)\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-2)\right)\)


而\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}3k}{n!}}=3\)，　所以需要思考的就剩下\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}(3k-1)}{n!}}=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}和\sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}(3k-2)}{n!}}=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)了。


\(由算術平均數\geq幾何平均數\geq調和平均數\)   可得

\[\displaystyle \frac{\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}{n} \geq \sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq \frac{n}{\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{k}{3k-1}}\]

所以

\[\displaystyle 3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k} = \frac{\displaystyle 3n-\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}}{n} \geq \sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq  \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{3}\left(n+\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}\right)} =\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}\]

而因為調和級數的特性，所以\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}=0 \;\;且\;\; \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}=0 \)

所以
\[\displaystyle 3= \lim_{n\rightarrow \infty} 3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}  \geq \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq   = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{(3k-1)}}=3\]

故\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}=3\)　，　同理\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}=3\)

所以所求3*3*3=27

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-16 10:35 編輯 ]

引用:

原帖由 5pn3gp6 於 2023-5-15 10:03 發表
填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考
可以先看到\(\displaystyle (3n)!=\left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-1)\right)\left ...

能想到這樣的方法…很不錯…

不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…

或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限項使用不等式，然後大家一起n驅近無限大…
看看這樣可不可行。

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-5-19 22:32 發表
不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…
或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限 ...

謝謝教授回覆，我倒是真的忘記算幾不等式直接推到無限很危險，不過我的確是用夾擠定理來處理這題。
但剛剛y再看一次，覺得有些細節沒有講得很清楚，可能也會讓後續的人誤會，
我試著修改一下：

\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=\sqrt[n]{\frac{\displaystyle \left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}3k-1\right)\left(\prod^n_{k=1}3k-2\right)}{n!\cdot n!\cdot n!}}=\sqrt[n]{\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}\right)}=3\cdot\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\cdot\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)


先來看\(\displaystyle\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\)


設\(\displaystyle a_n=\frac{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}{n} ，則 a_n=\frac{\displaystyle \sum^n_{k=1} \left( 3-\frac{1}{k}\right)}{n}  =3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\)　；

設\(\displaystyle g_n=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\)　；

設\(\displaystyle h_n=\frac{n}{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{k}{3k-1}}，則 h_n=\frac{n}{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3k-1}\right)}=\frac{3n}{\displaystyle n+\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}=\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}\)


由\(由算術平均數AM\geq幾何平均數GM\geq調和平均數HM\)，可得\(a_n\geq g_n\geq h_n\)

而由調和級數的特性，可得
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow }a_n=\lim_{n\rightarrow }\left(3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\right)=3-0=3\)
與
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow }h_n=\lim_{n\rightarrow }\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}=\frac{3}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow }\left(1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}\right)}=\frac{3}{1+0}=3\)

由夾擠定理\(a_n\geq g_n\geq h_n\)　則　\(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }a_n\geq \lim_{n\rightarrow }g_n\geq \lim_{n\rightarrow }h_n=3\)

故\(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }g_n=\lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\)


同理\(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)


故所求\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=\lim_{n\rightarrow }3\sqrt[n]{\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}\right)}=3*3*3=27\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-22 10:06 編輯 ]