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111高雄女中

回復 10# yuen1008 的帖子

第 1 題
令 b_n = √(1 + 24a_n) > 0
a_n = [(b_n)^2 - 1] / 24

代入原式整理可得
2b_(n+1) = b_n + 3
b_n = 3 + [(1/2)^(n - 2)]
剩下的就簡單了

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回復 11# thepiano 的帖子

謝謝!好厲害的方法!

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1.
數列\(\langle a_n \rangle \)滿足\(\displaystyle a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{16} (1+4a_n +\sqrt{1+24a_n}) , \forall n \in \mathbb{N} \),試求\( a_n\)的一般式。
(109中科實中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

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回復 2# Ellipse 的帖子

請問第6題

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回復 14# 新手老師 的帖子

第 6 題
所圍區域的邊界上方是 y = 2x + 15

要積分的函數是 y = 2x + 15 - x^2
它在 x = 1 時有最大值
故 x 從 1/2 積到 3/2 時,面積有最大值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-19 20:41 編輯 ]

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回復 15# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!

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引用:
原帖由 新手老師 於 2022-4-19 20:21 發表
請問第6題
∫ {t  to t+1}  (2x+15-x^2)dx
= -t^2+t+47/3
當t=1/2時,所求有最大值191/12

用GGB驗證一下答案如下

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-19 23:27 編輯 ]

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1650382009724.jpg (73 KB)

2022-4-19 23:27

1650382009724.jpg

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#12

這題目前還沒人問但其實頗有難度,解題過程也很漂亮,小弟分成兩步驟,解如下:

(1) 證明:\( \cos (n+2)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta -\cos n\theta \)。
     利用和差角公式,計算可得\( \cos (n+1+1)\theta + \cos (n+1-1)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta \)。

(2)計算\( a_1 = 3 \times \cos\theta =3 \times \frac{1}{3} =1, a_2 = 3^2 \times \cos 2\theta =9 \times (-\frac{7}{9}) = -7, a_3 = 3^3 \times \cos 3\theta =27 \times (4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3}) = -23 \)
,所以 \(a_1, a_2, a_3 \)皆為不被3整除的整數。
假設\( a_{k+1}, a_k \)均為不被3整除的整數,利用(1)得到的 cos 遞迴式,可得
\( a_{k+2} = 3^{k+2} \cos (k+2)\theta
= 3^{k+2} (2\cos \theta \cos (k+1)\theta -\cos k\theta)
= 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3^{k+1} \cos (k+1)\theta - 9 \times 3^k \cos k\theta
= 2a_{k+1} - 9a_{k} \),因\( a_{k+1}, a_k \)均為整數,故\( a_{k+2} \)也是整數,又因
\( 9a_{k}\)為3的倍數,但\( 2, a_{k+1} \)皆不是3的倍數,故\( a_{k+2} \)也不是3的倍數,因此由數學歸納法得證。     

如有錯誤或其他解法,請不吝指正或分享,感恩!

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 ]

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想請問第十三題

想請教第十三題,非常謝謝!

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回復 19# q1214951 的帖子

第 13 題
2005 APMO Problem 5

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