例題：【高中數學】排列組合

作者  weiye (^__^)                                                看板  Math
標題  Re: 【高中數學】排列組合 三題
時間  Mon Apr 16 02:09:28 2007
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※ 引述《yuan760102 (Ar_mou)》之銘言：
: 2.甲.乙.丙.丁。。。等身高不等的8人排成一橫排
:   欲使任一較矮者不夾在兩較高者之間，有幾種排法?
:   Ans:128種

        由最高的先開始去排　
                                        →　       █
                累計１種

        第二高的只能選他的左邊或右邊
                                        →　▇█　或是　█▇　
                累計１*２種                 ╰選右邊　╰選左邊

        同理，第三高的只能選上面兩人的左邊或右邊

        因此，累計八人的選擇有１*２^7＝１２８種

: 3.(a)1～9876的自然數中，數字有0的數有幾個?
:   (b)從1寫到9876共會寫幾個0?
: 還請各位大大幫忙解答指教!!

(b)
個位數零會出現在

　   10
        20
        30
         :
    9870

      拿掉那排個位數得0，剛好就是 1~987，共寫了987個個位數的零

十位數的零會出現在

　　100
        101
        102
         :
      9809

      拿掉那排十位數得 0，剛好就是 10~989，共計寫了989-10+1=980個十位數的零

百位數的零會出現在

        1000
        1001
        1002
          :
        9099

      拿掉那排0，剛好就是 100~999 共計寫了 999-100+1=900個百位數的零

千數的零==>不會寫到千位數的零

所以共計寫了 987+980+900=2687個零。
　　              　└──┴──┴───→分別是把9876個位數遮掉之後
　　　　　　　　                             從最末位開始逐次變0在相加

                          　　987
                                  980
                              ＋900
                              ￣￣￣
                       　　 2687


(a)

個位數有出現零的有

　　10
        20
        30
         :
    9870

      拿掉那排0，剛好就是 1~987，共有987個

個位數沒有出現零，可是十位數有出現零的有

　　10x
        20x
        30x
         :
      980x  其中 x 可以是 1,2,3,4,5,6,7,8,9

      拿掉那排0，剛好就是有 98個 * 9(x的可能性) = 882 個

個位十位都沒有零，可是百位數字有出現零的有

        10xy
        20xy
        30xy
          :
        90xy 其中 x,y 可以是 1,2,3,4,5,6,7,8,9

      拿掉那排0，剛好就是有　9個 *　9(x的可能性)*9(y的可能性) =729

千數的零==>不會寫到千位數的零

因此有出現零的數目字共計有 987+882+729 = 2598 個
         　　　　　　                    └──┴──┴──→分別是把9876 末位遮掉之後，
　　 　　　　　　　　　　　　　　　  　　　 由個位開始，每遮掉一位就乘 9

                           987+98*9+9*9*9=2598

from: PTT 數學板