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2000 - AMC10
poemghost
天哥.數醉
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發表於 2012-12-9 05:12
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2000 - AMC10
設 \(A,M,C\) 均為非負整數,且滿足 \(A+M+C=10\) ,
試問 \(AMC+AM+MC+CA\) 的最大值為何?
想請問各位同好,該怎麼用不等式的方法解出最大值69?
.
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道
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dream10
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發表於 2012-12-9 08:33
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AMC+AM+MC+CA=(A+1)(M+1)(C+1)-(A+M+C)-1=(A+1)(M+1)(C+1)-11
又(A+1)+(M+1)+(C+1)=A+M+C+3=13
為了使(A+1)(M+1)(C+1)最大~~所以(4,4,5)<---可以互相交換
所求(A+1)(M+1)(C+1)-11=4*4*5-11=69
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poemghost
天哥.數醉
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發表於 2012-12-9 11:54
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感謝DREAM師
此解法我知道,但要怎麼跟學生解釋445呢?→用算幾 ^^!!
所以我在想有沒有用不等式的方法,
但因為是離散量,因此可能會有點困難。
[
本帖最後由 poemghost 於 2012-12-9 12:07 PM 編輯
]
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dream10
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發表於 2012-12-9 15:07
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不是分類就可以了嗎
(1,1,11)~~(1,2,10).....持續下去~~慢慢分+觀察~~
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tsusy
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發表於 2012-12-9 15:43
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回復 3# poemghost 的帖子
可以直接利用二次函數的配方,證明:兩非負實數 a, b 之和為某定正數時,當兩數之差愈小時,ab 和 (a+1)(b+1) 之值愈大
因此極值只能在 3,3,4 發生 (其它情況,可以大數減 1 小數加 1 ,而得更大之可能)
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imatheq
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方寸之地
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