第 1 小題:
如圖,設 \(\overline{BC}\) 的延長線與 \(\overline{AE}\) 的延長線交於 \(J\)
因為 \(\triangle AED\sim \triangle JEC\)
所以 \(\overline{AE}:\overline{EJ}=\overline{DE}:\overline{EC}=m:(8-m)\)
\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HE}:\overline{EJ}=\frac{m}{2}:\frac{m}{2}:(8-m)\)
\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HJ}=\frac{m}{2}:\left(\frac{m}{2}+(8-m)\right)=m:(16-m)\)
且因為 \(\triangle AFH\sim\triangle JKH\)
所以 \(\overline{FH}:\overline{HK}=\overline{AH}:\overline{HJ}=m:(16-m)\)
因此,\(\displaystyle t=\frac{m}{16-m}\)
第二小題:
\(\displaystyle t=\frac{1}{3}=\frac{m}{16-m}\Rightarrow m=4\)
\(\displaystyle\overline{AE}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow \overline{AH}=2\sqrt{5}\)
因為 \(\triangle AHG\sim\triangle EDA\)
所以 \(\overline{AG}:\overline{AH}=\overline{AE}:\overline{DE}=\sqrt{5}:1\)
\(\Rightarrow \overline{AG}=\sqrt{5}\cdot \overline{AH}=10\)
\(\Rightarrow \overline{BG}=10-8=2.\)