拋物線y-2=x^2上一點A，直線x=y上一點B，一定點P(2,3)，求PA+PB 之最小值

一直想不出來，所以請教版上的各位老師
謝謝

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 11:18 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 jen123 於 2011-7-8 10:16 PM 發表
拋物線y-2=x^2上一點A，直線x=y上一點B，一定點P(2,3)，求PA+PB 之最小值

一直想不出來，所以請教版上的各位老師
謝謝

拋物線:y=x^2+2

PB最小值:   
P到直線x=y的(最短)距離

PA最小值:
令A(t,t^2+2)
PA有最小值時,表示"直線PA"與"過A點對拋物線所做的切線"互相垂直
而此切線斜率=2t
所以[ (t^2+2-3)/(t-2)] *(2t)=-1
2t^3-t-2=0 ,解得t=1.16537 (用電腦算的)
再帶入求PA

這樣的數據,到最後算PA最小值會很難算
題目是否有抄錯?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 08:34 AM 編輯 ]

題目應該有點問題，請98 玉井第 9 題 https://math.pro/db/thread-811-1-7.html


應該求 \( \overline{AB}+\overline{BP} \) 才是。

做法如下：\(P \) 對直線 \( x=y \) 做對稱點 \( P'(3,2) \)，


則 \( \overline{PB}=\overline{P'B} \)，所以再由三角不等式得

\( B \) 必在 \( \overline{AP'} \) 和 \( x=y \) 的交點上。

\( A(x,x^{2}+2),\, P'(3,2) \)， \( \overline{AP'} = \sqrt{(x-3)^{2}+x^{4}}=\sqrt{x^{4}+x^{2}-6x+9} \)。

微分可得 \( x=1 \) 時有最小值 \( \sqrt{5} \)。