是否題目有抄錯？我沒有在交大 APX 官網那找到相關的資訊
先就目前的條件：等比數列 \( <a_n> \) 滿足公比 \( r>0, a_1>0 \), 前 \( n \) 項和 \( S_n \) 滿足 \( \frac{S_{n+1}}{3} \le S_n \le 3 S_{n+1}, \forall n \in \mathbb N \)
來認真做一做。
\( r>0, a_1 >0 \Rightarrow a_n>0, \forall n\in \mathbb N \) \( \Rightarrow S_{n+1} > S_n >0 \)
因此必有 \( 3S_{n+1} > S_{n+1} \ge S_n \)，也就是說 \( S_n \le 3 S_{n+1} \) 是沒有任何用處的條件。
(這裡讓我覺得，有一點可能題目記錯或抄錯)
若 \( r \neq 1 \)，
\( \frac{S_{n+1}}{3} \le S_n \Leftrightarrow \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r} \leq \frac{3 - 3r^n}{1 - r}\Leftrightarrow 0 \leq \frac{2 + r^{n + 1} - 3r^n}{1 - r} \)
\( \Leftrightarrow 0 \leq (2 + (r - 3)r^n)(1 - r)\Leftrightarrow 0 \leq 2 - 2r + (r - 3)(1 - r)r^n \)
\( \Leftrightarrow (r^2 - 4r + 3)r^n \leq 2 - 2r\Leftrightarrow r^2 - 4r + 3 \leq \frac{2 - 2r}{r^n} \)
注意到上面的不等式是對所有正整數 n 均成立，而最後一個式子的左側與 \( n \) 無關
故等價於 \( r^2 - 4r + 3 \leq \min \{ \frac{2 - 2r}{r^n} \} \)
而無論 \( 0<r<1 \) 或 \( r>1 \)，\( \min \{ \frac{2 - 2r}{r^n} \} = \frac{2 - 2r}{r} \)
因此得 \( r^2 - 4r + 3 \leq \frac{2 - 2r}{r} \)，化簡得 \( (r-1)^2(r-2) \le 0 \Leftrightarrow r \le 2\)
當 \( r=1 \) 時，易知滿足題意中之不等式。
綜合以上得所有滿足題意不等式的公比 \( r>0 \) 的範圍為 \( 0< r \le2 \)，即 \( (0,2] \)
與題目所給閉區間不合。(可能題目出錯了？)
拉個 EXCEL 也容易檢驗
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本帖最後由 tsusy 於 2023-12-1 14:15 編輯 ]
