99桃園縣新進教師高中聯招

選擇第11題
對任意實數\(x,y\)均滿足\(f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\)，若\(f(1)=1\)，則
(A)\(f(0)=-1\)　(B)\(f(0)=1\)　(C)\(f(20)=229\)　(D)\(f(30)=494\)　(E)\(f(40)=859\)
[解答]
代入找遞回關係
a0 = -1
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 8
a4 = 13
an+1 = an + (n+2)
相加對消得 an=(n^2+3n-2)/2
將數值代入即得.......................(A)(C)(D)(E)

選擇第12題
下若\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列敘述何者不正確
(A)若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)
(B)若\(AB=0\)，則\(BA=0\)
(C)若\(A,B\)均為對稱矩陣，則\((AB)^T=BA\)
(D)\((AB)^T=A^TB^T\)
(E)若\(A^2=B^2\)，則\(A=B\)或\(A=-B\)
[解答]
矩陣沒交換性
轉置矩陣性質選錯誤(A)(B)(D)(E)

非選第四題
已知菱形\(ABCD\)的相鄰兩頂點之座標為\(A(-1,0)\)，\(B(2,5)\)且\(\angle BAD=30^{\circ}\)，求\(C\)點的座標為何？
[解答]
轉貼昌爸 o 回覆於: 2011/6/27 上午 02:20:58

非選第三題
照相機三角架的三隻腳架長度皆為\(75cm\)，三隻腳架和地面接觸點為\(A,B,C\)，已知\(\overline{AB}=50cm\)，\(\overline{BC}=40cm\)，\(\overline{CA}=30cm\)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少\(cm\)？
[解答]
(感謝waiye老師提示)
三角形公式，連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!5xXi2JuLERoQ9Wlo5SV0QSEp/article?mid=15858
三角形面積=abc/4R(面積以海龍公式求出)
R=25
以三角形的外接圓心往上拉皆垂直ABC平面
能有立體圖形更好理解
頂點到A,B,C皆等長
三角錐的高=√(75^2-25^2)=50√2

以下每個圓點座標以\((x,y)\)代表，\(A\)是所有的點，\(B\)，\(C\)，\(D\)則是\(A\)中半數的點。以">"或"≈"(近似於)來代表\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)點集合在\(x-y\)平面之相關係數大小(例，\(A>B>C>D\)等)
[解答]
一兩個月前，被問到非選的第一題，某人和我說，這題是他的殘念，之前一直都沒做出來


就認真的算了一下…


方法1：首先平移使中心為原點，新資料關係”幾乎”是 \( y_{i}^{\pm}=x_{i}^{\pm}\pm d, x_{i}^{\pm}=x_{i}, \bar{x}=\bar{y}=0\).


\( r=\frac{\sum y_{i}^{\pm}x_{i}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum(x_{i}\pm d)^{2}}}=\frac{2\sum_{i}x_{i}^{2}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}+Nd^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{Nd^{2}}{2\sum_{i}x_{i}^{2}}}} \)


也就是 \( \frac{\sum_{i}x_{i}^{2}}{N} \) 愈大 \( r \) 愈大。


也就是 \( x \) 變異係數愈大，\( r \)  愈大。所以 \( C>A>B \) 是沒有問題的。


而 \( D \) 和 \( A \)  則大概是 \( \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^{2}}{2n} \) 和 \( \frac{\sum_{k=1}^{n}(2k)^{2}}{n} \) 在比，所以是半斤八兩。


所以 \( C>A\approx D>B \)。

方法2：假設中間那條是迴歸線，去算迴歸線和資料的最小方差可以得到 \( 1-r^{2} \) 正比最小方差。


當然裡面還有一些參數。但是這樣做的好處是，因為資料接近線性關係，所以 \( r^{2} \) 接近 \( 1 \)，而 \( 1-r^{2} \) 接近 \( 0 \)。


所以 \( r \) 只要有些微變動，新舊 \( r \) 的比值接近 \( 1 \)，但 \( 1-r^{2} \) 的就不是了…



有興趣的人，可以用方法 2，驗證一下是不是一樣的結果…


方法2，是之前想的，很不直覺，有點久了，不知道算出來一不一樣？