請教一題微積分or列項相消

有想過夾擊但做不出來!!
有勞各位高手了!!

試證明\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\cdot (n+1)}<2 \)

不知道對不對...好像不夠嚴謹

\( \displaystyle \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n \sqrt{n}} \)⇒\( \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x \sqrt{x}}dx=(-2 \times \frac{1}{\sqrt{x}})\bigm|_{1}^{\infty}=2 \)

∴\( \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<2 \)

考慮 \(\frac{1}{\sqrt{n}\left( n+1 \right)}<2\left( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)

bugmens 幫我打字好之後。
圖檔就直接刪除。。

證明：\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<2 \)
pf：
①\( n^2<n(n+1)<(n+1)^2 \)

②\( \displaystyle \frac{n^2}{\sqrt{n}}<\frac{n(n+1)}{\sqrt{n}}<\frac{(n+1)^2}{\sqrt{N}} \)
⇒\( \displaystyle n^{\frac{3}{2}}<\sqrt{n}(n+1)<\frac{(n+1)^2}{\sqrt{n}} \)

③\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \)

④\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \)

⑤\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \)　　\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \)
x軸為漸進線

⑥\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<\int_1^{\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=-2x^{-\frac{1}{2}}\bigm|_1^{\infty}=2 \)　得證

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-5 04:25 PM 編輯 ]

鋼琴老師   下列圖檔不等式。
第一個小於的部分我有思考到，
也有思考用相消。
第二個小於如何思考得到，為何出現乘2

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}<2 (\; \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} )\;=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}} \)

n = 1 代入可知您的第二個小於不會成立

因為要證明小於2，又想要裂項相消，直接用湊的
\(\frac{1}{\sqrt{n}\left( n+1 \right)}<2\left( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)

然後上式也可證明

了解，謝謝。。