請教3題函數與極限

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1.設\( \displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} |\;x-k|\;+3x+2 \)，則y的最小值?此時x之值?

2.\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{(x-1)^2}= \)定值,求a,b?

3.設\( a,b,x \in R \),若\( \displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1} \)為連續函數,則求a,b?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-3-18 04:15 PM 編輯 ]

第1題：

當 \(x<9\) 時，\(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的各折線段斜率皆為負，

當 \(x>9\) 時，\(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的各折線段斜率皆為正，

且因為 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) 的圖形為連續的折線段，

所以當 \(x=9\) 時，圖形有最低點，即 \(x=9\) 時，\(y\) 有最小值為 \(131\) 。


第 2 題：

因為 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{\left(x-1\right)^2}\) 為定值，

所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\sqrt{2x^2+a}-x+b\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2+a}-1+b=0\Rightarrow a=b^2-2b-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{\left(x-1\right)^2}=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+b^2-2b-1}-x+b}{\left(x-1\right)^2}\)

　　\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{2x^2+b^2-2b-1-\left(x-b\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2+b^2-2b-1}+x-b\right)}\)

　　\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{x^2-1+2b\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)

　　\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{\left(x+1+2b\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)

　　\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{x+1+2b}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2x^2-b-1}+x-b\right)}\)

因為上式為定值，所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1}\left(x+1+2b\right)=0\)

\(\Rightarrow 1+1+2b=0\Rightarrow b=-1, a=b^2-2b-1=2\)



第 3 題：

當 \(-1<x<1\) 時，\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1}=ax+b\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1^{-}}f(x)=a+b\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=-a+b\)

當 \(x>1\) 或 \(x<-1\) 時，\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax+b}{x^{2n}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle x^{-1}+\frac{a}{x^{2n-1}}+\frac{b}{x^{2n}}}{\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to1^{+}}f(x)=1\) 且 \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-1\)

當 \(x=1\) 時，\(\displaystyle f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2n-1}+a+b}{1^{2n}+1}=\frac{1+a+b}{2}\)

當 \(x=-1\) 時，\(\displaystyle f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(-1\right)^{2n-1}-a+b}{\left(-1\right)^{2n}+1}=\frac{-1-a+b}{2}\)

因為 \(f(x)\) 為連續函數，

所以 \(\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}f(x)=f(1)\) 且  \(\displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=f(-1)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 1=a+b=\frac{1+a+b}{2}\) 且 \(\displaystyle -a+b=-1=\frac{-1-a+b}{2}\)

可解得 \(a=1, b=0\)

第 1 題補充觀察的方法：

易知 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|\) 在 \(10<x<11\) 之間，折線段斜率為 \(0\)

且每往右邊通過一個折點，斜率增加 \(2\)，每往左邊通過一折點，斜率減少 \(2\)，

故 \(\displaystyle y=\sum_{k=1}^{20} \left|x-k\right|+3x+2\) （那個常數不是重點，重點是所有折線段的斜率都加 \(3\) 了）

會在 \(x>9\) 時，折線段斜率都為正，且當 \(x<9\) 時，折線段斜率都為負。

即當 \(x=9\) 時，圖形有最低點。



第 2 題另解：

令 \(f(x)=2x^2+a-\left(x-b\right)^2\)

因為 \(\left(x-1\right)^2\Bigg| f(x)\)

所以 \(f(1)=f\,'(1)=0\)

可解得 \(b=-1, a=2.\)