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113彰化女中

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113彰女數學科參考答案_公告(更正版).pdf (422.72 KB)

2024-4-24 18:03, 下載次數: 1204

113彰女數學科試題卷_公告.pdf (570.71 KB)

2024-4-24 09:15, 下載次數: 1436

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想請問    8 , 12  14

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1.
\(x\),\(y\)為實數,則\(\sqrt{(x+5)^2+(y+4)^2+25}+\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2+49}\)之最小值是   

12.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係\(\cases{\displaystyle a_1=2\cr a_{n+1}=\frac{3}{2a_n+1},n\ge1}\),求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-1)(-\frac{3}{2})^n=\)   
補充資料https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

13.
求\((1+x+x^2+x^3)^6\)展開式中\(x^5\)的係數=   
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2629
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

2.
證明:對於所有大於1的自然數\(n\)而言,\(\displaystyle sin\frac{\pi}{n}\cdot sin\frac{2\pi}{n}\cdot sin\frac{3\pi}{n}\cdot \ldots \cdot sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}\)恆成立。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3020&page=1#pid19087

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第 14 題:

設數學分數為 \(x_1, x_2, ..., x_n\),物理分數為 \(y_1, y_2, ..., y_n \),

兩科加總分的分數為 \(z_1, z_2, ..., z_n\),兩科的相關係數為 \(r\),

則 \(\displaystyle \mu_x = 60, \mu_y = 70, \sigma_x = 5, \sigma_y = 6, \sigma_z = 9\),且 \(\mu_z = \mu_x + \mu_y\)

利用 \(\displaystyle z_i^2 = \left(x_i+y_i\right)^2, i =1, 2, 3, ..., n\) ,

得 \(\displaystyle z_1^2+z^2+ ... +z_n^2 = x_1^2 + x^2+ ... + x_n^2 + 2\left(x_1 y_1+x_2 y_2+...+x_n y_n\right)+y_1^2+y_2^2+...+y_n^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\left(\mu_z^2 + \sigma_z^2\right) = n\left(\mu_x^2 + \sigma_x^2\right)+2\left(n\sigma_x\sigma_y r+ n\mu_x \mu_y\right)  +n\left(\mu_y^2 + \sigma_y^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sigma_z^2= \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y r +\sigma_y^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow 9^2= 5^2 + 2\cdot 5 \cdot 6 \cdot r +6^2\)

得 \(\displaystyle r=\frac{1}{3}\) 。

故迴歸直線為 \(\displaystyle y-70 = \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\left(x-60\right)\)


註1: 相關係數 \(\displaystyle r = \frac{x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n - n\mu_x \mu_y}{n\sigma_x\sigma_y}\)

       \(\displaystyle \Rightarrow x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n = n\sigma_x\sigma_y r +n\mu_x \mu_y\)

註2:  \(\displaystyle \mu_z = \mu_x + \mu_y\Rightarrow \mu_z^2 = \mu_x^2+2\mu_x\mu_y+\mu_y^2\)

多喝水。

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第 8 題:

設 \(A(0+4i), B(3+0i), P(z), C(0+i)\) 皆為複數平面上的點,

\(\displaystyle \left|z\right| = \frac{4}{\left|-1+\sqrt{3}i\right|}=2\) \(\Rightarrow P\) 在「以原點為圓心、以 \(2\) 為半徑」的圓 \(C\) 」上。

又此圓亦是滿足 \(PA:PC = 2:1\) 的阿波羅圓,

所以 \(\displaystyle \frac{1}{2}PA + PB = PC+PB \geq BC = \sqrt{10}\) 。

註: \(A, B\) 都在圓外, \(C\) 在圓內。

多喝水。

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回覆 4# weiye 的帖子

謝謝老師 我再來研究一下 中間那個相關係數

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第 12 題:

解 \(\displaystyle x = \frac{3}{2x+1}\),得 \(x=1\) 或 \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}\)

令 \(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}}\),則

\(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2a_{n-1}+1}-1}{\frac{3}{2a_{n-1}+1}+\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle =\frac{-4a_{n-1}+4}{6a_{n-1}+9} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-\frac{3}{2}} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot b_{n-1}\)

可得 \(<b_n>\) 是一個首項為 \(\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}\),公比為 \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) 的等比數列,

寫出 \(b_n\) 的一般項,可得 \(a_n\) 的一般項。

多喝水。

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請教第 1, 2, 11 題

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第 1 題:

令 \(P(x, y, 0), A(-5, -4, -5), B(3 ,5, 7)\),則 \(PA+PB\geq AB = 17\)。

多喝水。

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回覆 9# weiye 的帖子

為什麼不能 \(z\) 坐標一個 \(5\) 一個 \(7\) ,讓距離更小?

抱歉我知道了,因為 \(P\) 在 \(xy\) 平面上。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2024-4-24 11:12 編輯 ]

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