111彰化女中

請參考附件，冰淇淋又出現了 ......

111.6.3補充
公告更正本校111學年第2次教甄初試數學科填充題第13題答案
連結已失效h ttps://www.chgsh.chc.edu.tw/2022/06/03/%e5%85%ac%e5%91%8a%e6%9b%b4%e6%ad%a3%e6%9c%ac%e6%a0%a1111%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e5%ba%a6%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e6%95%99%e5%b8%ab%e7%94%84%e9%81%b8%e5%88%9d%e8%a9%a6%e6%95%b8%e5%ad%b8%e7%a7%91%e5%a1%ab/
公告第2次更正國立彰化女中111學年第2次教甄初試數學科填充題第2題答案及第9題送分
連結已失效h ttps://www.chgsh.chc.edu.tw/2022/06/03/%e5%85%ac%e5%91%8a%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%9b%b4%e6%ad%a3%e5%9c%8b%e7%ab%8b%e5%bd%b0%e5%8c%96%e5%a5%b3%e4%b8%ad111%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%95%99%e7%94%84%e5%88%9d%e8%a9%a6%e6%95%b8/

填充3
設正整數\(x,y\)滿足\(\sqrt{x}+\sqrt{2022}=\sqrt{xy+2022}\)，試求數對\((x,y)=\)　　　。(有兩組數對)
[解答]

填充題
1.
某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 500 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有　　　種方法。

某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 100 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法？
(1)101　(2)105　(3)115　(4)120　(5)225
(111學測，https://math.pro/db/thread-3606-1-1.html)

6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\ldots+\frac{(n+2)}{n!+(n+1)!+(n+2)!}\right]=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

7.
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC=\)　　　。

已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC\)的度數為　　　度。
(106新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2770&page=1#pid17257)
連結有解答

14.
給定四次多項函數為\(f(x)=x^4-4x^3+10\)，求與\(y=f(x)\)恰有兩個相異切點直線方程式(如下圖虛線所示)為　　　。

計算證明題
1.
\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。

試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)

填充2.
彰化女中籃球校隊想招收隊員，某參加甄選的學生聲稱自身的投籃命中率\(p\ge 0.4\)，校方想透過檢定的方式來決定她的聲稱是否採信。假設「此學生的投籃命中率\(p\ge 0.4\)」且「投籃直到第一次進球共需\(X\)次」，在顯著水準為0.05的條件之下，求隨機變數\(X\)的拒絕域為　　　。(\(log2\approx 0.3010\)，\(log3\approx 0.4771\))
[解答]
合理性檢定，相關內容可參考龍騰第六冊(數甲下)單元02，或者估狗"假設檢定"找到更詳細的說明。
我覺得我的算法是對的，可是跟答案差了一點，來請各路高手幫忙檢視一下。

假設該生命中率\( p\) 就是\( 0.4\)，\(X\)為投籃到第一次進球總共所需次數，因\(X\)服從幾何分配，故
\( \displaystyle P(X=k)=0.6^{k-1}\times0.4 \)，因顯著水準訂為0.05，是故k的最小值應滿足
\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 且 \( \displaystyle P(X=k-1) + \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) \geq 0.05 \)
由\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 可得 \( \displaystyle 0.4\times(0.6^{k-1}+0.6^k+0.6^{k+1} + \dots )<0.05 \)
化簡得\( 0.05 > 0.6^{k-1} \)，借助常用對數可得 \( k > 6.8... \)，因此拒絕域為 \( X \geq 7 \)。

回家後以EXCEL求值確認 \( P(X=6)+P(X=7)+...=0.07776 \) 而 \( P(X=7)+P(X=8)+...=0.046656\)。
有沒有可能題目的\( X \)，所代表的是直到投進第一次前，投球沒進的次數？

而後面的填充13，題目也沒講清楚 a>b 還是b>a，雖然我們熟悉的設定都是長軸2a，但還是覺得出題時可以定義的更清楚。

計算1.
\( \pi^e \)和\( e^\pi \)誰比較大？
可參考以下影片 ： https://www.youtube.com/watch?v=SPHD7zmLVa8
另外影片下方留言區有強者網友提供更簡潔的方法
考慮\( e^x\)的泰勒展開式\(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...\)，故\(\displaystyle e^x>1+x\)
令\( x=\frac{\pi}{e}-1\)，則 \( e^{\frac{\pi}{e}} \times e^{-1}> \pi \times e^{-1} \) 故 \(\displaystyle e^{\frac{\pi}{e}}>\pi \)
兩邊同時\(e\)次方，得\( e^\pi > \pi^e  \)。

計算1.
e^π和π^e誰比較大？
也可參考以下影片：https://youtu.be/mZguXn1XubQ
猜測出題老師的靈感來自這邊

計算3.
已知\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9}\)，求\(|\;2-\omega|\;^2+|\;2-\omega^2|\;^2+\ldots+|\;2-\omega^8|\;^2\)。
[解答]

原來還可以A多走一次，但還少一種，再請教各位老師

填充5
如圖所示，\(A\)、\(B\)兩人面對面，中間有十個間隔，行進時\(A\)只能向右1或2格，\(B\)只能向左1或2格。\(A\)、\(B\)兩人輪流行動，\(A\)先動。若兩人停在同一格，這遊戲提前結束。問遊戲提前結束的方法有幾種？　　　。
A□□□□□□□□□□B
[提示]
104師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2226

想請教填充4、填充9，謝謝。