112建國中學科學班

3.
令\(f(x)=ax^2+bx+c\)為領導係數是正數的實係數二次函數。已知在\(2\le x\le 4\)時，滿足\(|\;f(x)-6|\;\le 4\)且\(5a+2b+20=0\)，\(|\;c-15|\;\le 12\)，求\(f(x)=\)　　　。

建中的科學班入學考題，有算出根據條件算出f(x)，然而卻遇到條件有誤
想請教各位老師們這題是否有失題，謝謝

113.1.27
建國中學科學班歷屆試題https://sites.google.com/gl.ck.t ... E9%A1%8C?authuser=0
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試著做一下(應該沒錯)

由 \( 5a + 2b + 20 = 0 \)，可得 \( f(\frac{5}{2}) = \frac{5}{4}(5a + 2b) + c = \frac{5}{4} \cdot \left( - 20\right) + c = c - 25 \)

而 \( \left|c - 15\right| \leq 12\Rightarrow 3 \leq c \leq 27\Rightarrow c - 25 \leq 2 \)

又 \( \left|f(\frac{5}{2}) - 6\right| \leq 4\Rightarrow f(\frac{5}{2}) \geq 2 \)

故 \( f(\frac{5}{2}) = 2 \)，因此\( c = 27 \)

當 \( 2 \le x \le 4 \) 時，\( \left|f(x) - 6\right| \leq 4\Rightarrow f(x) \geq 2 \)

因此在 \( 2 \le x \le 4 \)  的條件下，\( f(x) \) 的最小值為 \( f(\frac{5}{2}) = 2 \)

又 \( f(x) \) 為領導係數為正的二次函數，故 \( x = \frac{5}{2} \) 處為 \( f(x) \) 函數圖形中的頂點

因此 \( \frac{ - b}{2a} = \frac{5}{2}\Rightarrow 5a + b = 0 \)

又 \( 5a + 2b + 20 = 0 \)，故 \( a=4, b=-20 \)

此二次函數為 \( f(x) = 4x^2 - 20x + 27 = 4(x - \frac{5}{2})^2 + 2 \)

檢查此函數是否滿足題意：

(1) 由 \( a=4, b=-20, c=27 \)，此係數滿足 \( 5a + 2b + 20 = 0 \) 且 \( \left|c - 15\right| \leq 12 \)

(2) 在 \( 2 \le x \le 4 \)  的條件下，\( f(x) \) 的最小值、最大值分別為 \( f(\frac{5}{2}) = 2 \), \( f(4) = 11 \)，
與 \( \left|f(4) - 6\right| \leq 4 \) 矛盾

綜合以上，不存在這樣的二次函數 \( f(x) \) 滿足題意

謝謝老師回覆，算出一樣的答案卻怎麼都不滿足f(4)，的確原題有誤
再次謝謝您