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請教一題幾何題目

請教一題幾何題目

梯形\(ABCD\)中,上底\(\overline{AB}\),下底\(\overline{CD}\),若\(∠ADB+∠DBC=180^\circ \),且 \(\overline{AB}=4\),\(\overline{CD}=6\),\(\overline{BC}=5\),求\(\overline{AD}=?\)
請教一題幾何題目,謝謝!!

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題目:梯形\(ABCD\)中,上底\(\overline{AB}\),下底\(\overline{CD}\),若\(∠ADB+∠DBC=180^\circ \),且 \(\overline{AB}=4\),\(\overline{CD}=6\),\(\overline{BC}=5\),求\(\overline{AD}=?\)


解答:

令 \(\overline{AD}=x, \overline{BD}=y\),

在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle BCD\) 中,

由 \(∠ABD=∠BDC\) 及餘弦定理,

可得 \(\displaystyle\frac{y^2+4^2-x^2}{2\cdot y\cdot 4}=\frac{y^2+6^2-5^2}{2\cdot y\cdot 6}\Rightarrow y^2=3x^2-26\)   ‧‧‧‧‧‧‧(*)


由 \(∠ADB=180^\circ-∠DBC\) 及餘弦定理,

可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2-4^2}{2\cdot x\cdot y}=-\frac{y^2+5^2-6^2}{2\cdot y\cdot5}\)

將(*)代入上式,化簡後可得 \(x\) 的一元三次方程式,

解得 \(x=-3\mbox{(不合)、}-7\mbox{(不合)、或 }\frac{10}{3}\)。

故,\(\overline{AD}=\frac{10}{3}.\)

多喝水。

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